Bagaimana cara saya menuliskan spasi Euclidean dengan simbol secara resmi?

Nov 27 2020

Spasi adalah tupel terurut, di mana elemen pertama adalah himpunan dan elemen berikut mendeskripsikan struktur yang ditambahkan, misalnya $(X, m)$ untuk ruang metrik, $(X, \tau)$untuk ruang topologi. Apa sajakah elemen berikut untuk ruang Euclidean?

Sejauh yang saya mengerti, kami membutuhkan

  • $X=\mathbb R^n$ adalah himpunan dari semua n-tupel bilangan real (dengan $n\in\mathbb N$)
  • kita membutuhkan elemen $X$ menjadi vektor - sehingga dapat digabungkan secara linier dengan perkalian skalar $\times$, lapangan $F$ dan tambahan $+$.
  • produk titik $\cdot$ di antara elemen $X$.
  • norma untuk elemen $X$. Apakah ini secara inheren disertakan dalam perkalian titik atau apakah saya perlu menyatakannya secara eksplisit? Bukankah saya butuh tambahan "$-$"? http://faculty.cord.edu/ahendric/2008Fall210/subsub.pdf menyarankan bahwa ini juga termasuk dalam "$+$".
  • kelengkapan $X$ (apakah ini secara inheren termasuk dalam fakta itu $X=\mathbb R^n$?)
  • metrik (saya pikir ini juga secara inheren termasuk dalam norma dan fakta bahwa elemen $X$ adalah vektor, kan?)

Dari situ saya menyimpulkan, bahwa ruang Euclidean itu $(\mathbb R^n, \cdot, +, F, \times)$. Mungkin saya juga membutuhkan "$-$".

Jadi: Bagaimana cara saya menuliskan spasi Euclidean dengan simbol secara resmi?

Jawaban

1 Algebraic Nov 27 2020 at 22:46

Anda sudah menuliskan spasi Euclidean dalam pertanyaan Anda: $\mathbb{R}$.

Satu-satunya hal lain yang dapat saya pikirkan yang mungkin ingin Anda sertakan adalah metrik Anda. Mengatakan$(\mathbb{R},d)$ adalah ruang metrik dan tentukan d, yang merupakan jarak dari dua titik mana pun.

Ada beberapa aksioma yang perlu diingat untuk metrik:

  1. $d(x,x)=0$

  2. $d(x,y)>0$

  3. $d(x,y)=d(y,x)$

  4. $d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$ (disebut pertidaksamaan segitiga; pikirkan segitiga siku-siku, dan Anda berjalan dalam garis diagonal untuk mencapai tujuan)

Ada banyak metrik yang dapat kami tentukan untuk ruang seperti $\mathbb{R^2}$, pesawat nyata; makhluk yang paling umum$\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$


EDIT:

Anda perlu mempelajari beberapa topologi yang saya kira. Produk Cartesian hanyalah salah satu contoh dari konsep yang lebih umum yaitu product space. Dalam topologi kita membahas kontinuitas dan set terbuka (tidak semuanya didefinisikan sama). Mengatakan$X,Y$ adalah ruang topologi, dan himpunan, $U_{X_i}$ dan $V_{Y_i}$ terbuka di topologinya masing-masing.

Kami mendefinisikan topologi pada product space $X\,\,x\,\, V$dengan hanya mengatakannya "mewarisi" topologi dari dua ruang lainnya. Bagian dari$X\,\,x\,\, V$ terbuka jika hanya jika $U\subset X$ dan $V\subset Y$keduanya terbuka. Ini berlaku persis dengan cara yang sama untuk ruang metrik standar kita, tetapi ruang produk akan mewarisi metrik, yang dapat dianggap memberi kita gambaran tentang apa itu "terbuka" juga!