Bagaimana cara yang benar untuk menulis perkalian antara skalar dan vektor?
Aturan perkalian matriks menyatakan bahwa, jumlah kolom dari operan kiri sama dengan jumlah baris dari operan kanan.
$M*N$ jika M punya $n$ kolom dan N harus memiliki $n$ baris.
Mengikuti konvensi ini, cara alami untuk menulis perkalian antara vektor dan skalar adalah dengan meletakkan vektor di sisi kiri - mengambil skalar sebagai matriks 1 kali 1.
Namun, saya menemukan bahwa, cukup sering orang tidak mengikuti aturan di atas: menggunakan dekomposisi eigen sebagai contoh:
wiki dekomposisi eigen
$A\upsilon=\lambda\upsilon$
Apakah ada aturan praktis untuk memandu kita ketika kita harus meletakkan skalar di sisi kiri?
Jawaban
Perkalian skalar dan perkalian matriks adalah 2 operasi terpisah. Meskipun mereka memiliki kata "perkalian" yang sama di dalamnya - mereka sama sekali berbeda.
Perkalian matriks tidak bersifat komutatif - jadi Anda harus meletakkan matriks yang benar di sisi kanan, ini bukan tentang konvensi. Skalar bersifat komutatif dan Anda dapat meletakkannya di kedua sisi.
Saya tidak berpikir ada konvensi tertulis itu sendiri - orang terbiasa meletakkan koefisien sebelum istilah lain. Jika Anda meletakkan skalar di sebelah kanan, tergantung pada bidang yang Anda kerjakan, beberapa orang membaca ekspresi Anda mungkin berhenti dan berpikir "huh, tunggu, apakah kita sedang mengerjakan aljabar non-komutatif?" sejenak. Juga beberapa orang mungkin berpikir "huh, apakah ini skalar atau saya melewatkan sesuatu?". Mungkin diperlukan beberapa siklus otak ekstra bagi pembaca, jadi saya akan tetap menggunakan skalar di sebelah kiri, tetapi mungkin tidak akan menjadi tragedi jika Anda meletakkannya di sisi lain.
Meskipun dimungkinkan untuk meniru perkalian skalar menggunakan$1\times n$ atau $n \times 1$matriks - bukan itu intinya. Sekali lagi - ini adalah operasi yang berbeda dan hanya satu yang bersifat komutatif.
Ini hanya masalah konvensi notasi. Biasanya aksioma ruang vektor dirumuskan dengan menuliskan perkalian skalar ke dalam bentuk$$\lambda \cdot v$$ dimana $v \in V$ dan $\lambda$ termasuk dalam bidang tanah $K$. Alasannya adalah kita biasanya memahami hal itu di dalam produk$\mu \cdot \lambda$ dari elemen $K$kami memiliki faktor pertama$\mu$dan faktor kedua$\lambda$. Dalam suatu bidang (yang perkaliannya bersifat komutatif) urutan faktor tampaknya tidak relevan (karena$\mu \cdot \lambda = \lambda \cdot \mu$), tetapi di dalam ring $R$(yang perkaliannya secara umum non-komutatif) urutannya penting. Ini berlaku misalnya untuk cincin$n\times n$-matriks di atas bidang. Salah satu aksioma ruang vektor adalah$$(\mu \cdot \lambda) \cdot v = \mu \cdot (\lambda \cdot v)$$ yang secara mnemonik lebih mudah daripada rumus yang sama yang ditulis melalui perkalian skalar dari kanan $$v \cdot (\mu \cdot \lambda) = (v \cdot \lambda) \cdot \mu .$$ Oke, untuk bidang ini tidak membuat banyak perbedaan karena dikatakan sama dengan $$v \cdot (\lambda \cdot \mu) = (v \cdot \lambda) \cdot \mu .$$Tetapi perhatikan bahwa konsep ruang vektor dapat digeneralisasikan dengan konsep modul di atas cincin$R$dan di sini urutannya membuat perbedaan. Faktanya, seseorang membedakan antara kiri dan kanan$R$-modul. Untuk kiri$R$-muodules satu biasanya menulis mutliplikasi skalar sebagai $\lambda \cdot v$, untuk benar $R$-modul sebagai $v \cdot \lambda$. Lihat disini .
Sekarang mari kita sampai pada inti pertanyaan Anda. Produk matriks$A \bullet B$ biasanya didefinisikan untuk file $m\times n$ matriks $A$ dan sebuah $n\times p$ matriks $B$, yaitu kita membutuhkan jumlah kolom $A$ sama dengan jumlah baris $B$. Seperti yang Anda katakan, skalar$\lambda$ bisa dianggap sebagai $1 \times 1$ matriks $(\lambda)$. Jadi dua ekspresi berikut didefinisikan:$$(\lambda) \bullet A \text{ for } 1 \times n \text{ matrices } A \tag{1} $$ $$A \bullet (\lambda) \text{ for } n \times 1 \text{ matrices } A \tag{2} $$ Di $(1)$ $A$disebut vektor baris , dalam$(2)$sebuah vektor kolom .
Oleh karena itu, hal ini bergantung pada notasi favorit Anda: Jika Anda menganggap elemen $K^n$ sebagai vektor baris, Anda harus menggunakan $(1)$, jika Anda menganggapnya sebagai vektor kolom, Anda harus menulis $(2)$.
Bagaimanapun, ini hanya relevan jika Anda bersikeras dengan segala cara untuk memahami produk skalar$\lambda$ dan $A$sebagai produk matriks. Biasanya untuk$A = (a_{ij})$ seseorang hanya mendefinisikan $$ \lambda \cdot (a_{ij}) = (\lambda \cdot a_{ij}) .$$ Melakukannya tidak masalah jika Anda menganggap elemen $K^n$ sebagai vektor baris atau sebagai vektor kolom.