Bagaimana kami menunjukkannya ${\sum}_{w\in\wedge}\frac{1}{(z+w)^2}$ tidak benar-benar konvergen?

Dec 31 2020

Ini dari Analisis Kompleks oleh Shakarchi dan Stein dalam bab fungsi Eliptik.

Bagaimana kami menunjukkannya ${\sum}_{w\in\wedge}\frac{1}{(z+w)^2}$ tidak benar-benar konvergen, di mana $\wedge$yang dimaksud dengan kisi ganda dalam bidang kompleks? Tampaknya sulit bagi saya untuk menunjukkan konvergensi absolut dari jumlah tak hingga yang kompleks. Mungkin saya bisa mencoba mengikat seri ini dan menggunakan fakta dari seri nyata, tetapi saya tidak tahu caranya.

Jawaban

3 Conrad Dec 31 2020 at 08:27

Dengan rotasi kita dapat mengasumsikan kisi-kisi tersebut $m+n\tau, \tau=a+ib, b>0$ dan wlog bisa kita asumsikan $a \ge 0$ seperti yang kami gunakan $n <0$ berikut ini.

Memperbaiki $z=x+iy$, jadi $|z+m+na+inb|^2=(m+na+x)^2+(nb+y)^2$.

Lalu jika $Nb>|y|$, kita mendapatkan $(nb+y)^2<4b^2n^2, n \ge N$

dan serupa $M>0, M+Na >|x|$ menyiratkan $(m+na+x)^2<4(m+na)^2, m \ge M, n \ge N$

Artinya itu $\frac{1}{|z+m+na|^2} \ge \frac{1}{4b^2n^2+4(m+na)^2}, m \ge M, n \ge N$

Tapi sekarang menjumlahkan hanya istilah-istilah itu dan memanggil jumlah itu $S$ kami mendapatkan itu:

$S \ge \sum_{m \ge M, n \ge N}\frac{1}{4b^2n^2+4(m+na)^2}$

Menggunakan deret ganda bilangan positif dapat dipertukarkan sesuka hati (dengan hasil yang sama baik terbatas atau tak terbatas) kita segera dapatkan (karena penjumlahan menurun dalam $m$) itu untuk diperbaiki $n \ge N$:

$\sum_{m \ge M}\frac{1}{b^2n^2+(m+na)^2} \ge \int_{M+1}^{\infty}\frac{dt}{b^2n^2+(t+na)^2}=$

$=\frac{1}{bn} \tan^{-1}(\frac{t+na}{nb})|_{t=M+1}^{t=\infty}=\frac{1}{bn}(\pi/2-\tan^{-1}(\frac{M+1+na}{nb})) \ge \frac{1}{bn}(\pi/2-c) =A/n, n \ge N$

dimana $c=\tan^{-1}(\frac{M+1+Na}{Nb})$ sebagai $\frac{M+1+na}{nb} \le \frac{M+1+Na}{Nb}, n \ge N$ dan arctangent meningkat

Tapi ini menunjukkan itu $S \ge \sum_{n \ge N}\frac{A}{4n}=\infty$ jadi rangkaian ganda nilai absolut pada subset kisi sudah tak terbatas dan kita selesai!