Bagaimana memahami ukuran orbit $1$ pada kasus ini

Question

Saya seorang pemula yang belajar mandiri dalam teori grup, jadi harap bersabar dengan pertanyaan ini yang mungkin memiliki beberapa jawaban sederhana. Diberikan a$p$-kelompok $G$ untuk beberapa prime $p$, biarkan $H$ menjadi subkelompok $G$. Membiarkan$X$ menjadi himpunan dari semua konjugasi $H$.

Sekarang, $H$ bertindak $X$dengan konjugasi. Saya membaca bahwa setidaknya ada$p$ ukuran orbit $1$ di $X$.

Salah satu contoh orbit dengan ukuran $1$ aku s $\{H\} \in X$. Contoh ini mengikuti sejak$aHa^{-1}=H$ untuk apapun $a \in H$ sejak $H$ adalah subkelompok, dan kami punya $\text{Orb}(H)=H$.

Tapi saya membacanya sejak itu $p$ adalah bilangan prima, yang setidaknya ada $p-1$ ukuran orbit lainnya $1$. Jadi harus ada orbit lain$gHg^{-1} \neq H$ ukuran $1$ di $X$.

Yang tidak saya mengerti adalah bagaimana caranya $gHg^{-1}$ bisa menjadi ukuran $1$ di bawah aksi $H$. Bukankah ini berarti itu$\text{Orb}(gHg^{-1})=\{agHg^{-1}a^{-1} | a \in H\}$ dan $\text{Orb}(gHg^{-1})$ mungkin belum tentu sama dengan $gHg^{-1}$. Namun, itu harus memiliki ukuran$1$, yang artinya $\text{Orb}(gHg^{-1})$ sebenarnya harus sama dengan $gHg^{-1}$.

Sebagai referensi, hasil ini berasal dari Teorema 4.6 Rotman, di mana tidak ada kondisi tambahan yang diberlakukan $H$ dan $G$ kecuali itu $H$ adalah subkelompok dari $p$-kelompok $G$ ... Apa yang kulewatkan di sini?

Answer 1

Hal pertama yang perlu diperhatikan adalah jika $|X| = 1$ maka kita tidak akan melakukannya $p-1$ orbit lain jadi kami juga perlu mengasumsikan $|X| \gt 1$.

Kami akan menggunakan dua sifat orbit ini untuk membuktikan pernyataan kami:

1. Orbit terputus-putus dan kesatuannya adalah keseluruhan himpunan $X$ (ini seharusnya mudah dilihat).

2. Ukuran orbit membagi urutan kelompok (ini dibuktikan dalam teorema Penstabil Orbit)

Berdasarkan properti (1) kita memiliki itu $$|X| = \sum_{Y \in \mathcal{O}} |Y|$$ dimana $\mathcal{O}$adalah himpunan yang berisi semua orbit aksi. Sekarang kami berpisah$\mathcal{O}$ menjadi dua subset yang terputus-putus: $\mathcal{O'}$ dan $\mathcal{O''}$ dimana $\mathcal{O'}$ adalah himpunan dari semua ukuran orbit $1$ dan $\mathcal{O''}$ adalah himpunan dari semua orbit yang ukurannya lebih besar dari $1$. Ini berarti$$|X| = \sum_{Y' \in \mathcal{O'}} |Y'| + \sum_{Y'' \in \mathcal{O'}} |Y''| = |\mathcal{O'}| + \sum_{Y'' \in \mathcal{O'}} |Y''|$$ sejak $|Y'| = 1$. Berdasarkan properti (2) kita tahu itu$|Y''|$ membagi $|X| = p^n$ dan $|Y''| > 1$ yang artinya $|Y''| = p^k$ dimana $k > 1$ yang berarti $p$ membagi $|Y''|$. Kita bisa melihat$X$ sebagai orbit dimana aksi kelompok adalah konjugasi oleh kelompok $G$. Artinya itu$|X|$ membagi $|G| = p^n$. Sejak$|X| > 1$ kita punya itu $p$ membagi $|X|$. Sejak$|X| = |\mathcal{O'}| + \sum_{Y'' \in \mathcal{O'}} |Y''|$, $p$ juga harus membagi $|\mathcal{O'}|$ yang berarti $|\mathcal{O'}| = pm$ untuk beberapa $m \gt 1$ yang berarti $|\mathcal{O'}| \geq p$ itulah yang kami coba buktikan.