Bagaimana menemukan jumlah fungsi polinomial yang berbeda dari $\mathbb{Z}_2$ untuk $\mathbb{Z}_2$? [duplikat]

Question

Untuk bilangan bulat positif apa pun $n$, berapa banyak polinomial derajatnya $n$ lebih $\mathbb{Z}_2$? Berapa banyak fungsi polinomial berbeda dari$\mathbb{Z}_2$ untuk $\mathbb{Z}_2$?

Percobaan: bagian pertama jelas bagi saya karena ada $2$ pilihan untuk setiap koefisien dan ada $n$ koefisien jadi ada $2^n$polinomial seperti itu. Saya mengalami masalah dalam memahami bagian kedua di mana saya perlu menemukan fungsi polinomial yang berbeda.

Jika saya berasumsi $p(x)$ dan $p'(x)$ adalah dua fungsi polinom yang sama $\mathbb{Z}_2$ seperti yang $p(x)=a_nx^n+\cdots+a_0$ dan $p'(x)=a'_nx^n+\cdots+a'_0$, kemudian $p'(x)=p(x)$ untuk $x=0,1$. Begitu$a'_0=a_0$. Dan karena tingkat polinomial ini$n$ kemudian $a_n=a'_n=1$. Jadi untuk menemukan fungsi polinomial yang berbeda, kita harus mempertimbangkan kapan$p(x)$ tidak bisa sama dengan $p'(x)$ untuk setiap nilai $x\in\{0,1\}$. Dari sini saya tidak bisa melanjutkan. Saya sedang mencari solusi. Di mana-mana saya melihat bahwa mereka memulai pertengkaran dengan fakta bahwa hanya ada$4$polinomial semacam itu dan kemudian mereka memberikan contoh polinomial tersebut. Saya butuh bantuan untuk memahami masalah ini. Terima kasih

Answer 1

Hanya ada 4 fungsi berbeda $f: \Bbb Z_2 \to \Bbb Z_2$. Ini karena kardinalitas himpunan fungsi$A \to B$ adalah $$|B^A|=|B|^{|A|}$$ kapanpun $A,B$ adalah himpunan yang terbatas.

Kebetulan mereka adalah fungsi polinomial. Memang benar$$f_1(x)=0$$ $$f_2(x)=1$$ $$f_3(x)=x$$ $$f_4(x)=1-x$$ Jadi kami telah menemukan semuanya.

Answer 2

Lebih $\Bbb{Z}_2$, polinomial $x(x+1) = x^2 + x$ identik $0$, yang artinya saya bisa mengganti $x^2$ dengan $x$dalam ekspresi polinomial apa pun dan mendapatkan nilai yang sama. Menggunakan ini berulang kali, ganti$\Bbb{Z}_2$, polinomial $$a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + ... + a_n x^n$$ selalu memberikan nilai yang sama dengan polinomial $$a_0 + (a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_n)x,$$ dan jadi hanya ada $4$ polinomial dibedakan atas $\Bbb{Z}_2$, tergantung cuaca $a_0 = 0$ atau $1$, dan apakah $a_1 + a_2 + a_3 + ... +a_n = 0$ atau $1$.

Answer 3

Jawaban atas pertanyaan pertama Anda seharusnya $2^{n-1}$ daripada $2^{n}$ karena koefisien $x^n$ selalu $1$.

Untuk catatan bagian kedua, himpunan semua fungsi polinomial adalah himpunan semua fungsi dalam kasus Anda.

EDIT: Yang ditunjukkan di komentar bagian pertama dari jawaban ini salah.