Bagaimana menemukan urutan kelompok gerakan kaku padatan platonis di $\mathbb{R}^3$?
Berikut ini muncul sebagai latihan dalam Aljabar Dummit dan Foote (Bagian $1.2$ - Kelompok Dihedral):
- Membiarkan $G$ menjadi kelompok gerakan kaku di $\mathbb{R}^3$dari tetrahedron. Menunjukkan bahwa$|G| = 12$
- Membiarkan $G$ menjadi kelompok gerakan kaku di $\mathbb{R}^3$dari sebuah kubus. Menunjukkan bahwa$|G| = 24$
- Membiarkan $G$ menjadi kelompok gerakan kaku di $\mathbb{R}^3$dari sebuah oktahedron. Menunjukkan bahwa$|G| = 24$
- Membiarkan $G$ menjadi kelompok gerakan kaku di $\mathbb{R}^3$dari dodecahedron. Menunjukkan bahwa$|G| = 60$
- Membiarkan $G$ menjadi kelompok gerakan kaku di $\mathbb{R}^3$dari sebuah ikosahedron. Menunjukkan bahwa$|G| = 60$
Dari jawaban ini saya menyimpulkan bahwa gerakan kaku adalah isometri yang menjaga orientasi, yaitu pantulan tidak diperbolehkan.
Jadi, untuk tetrahedron, saya memikirkan sumbu simetri yang melewati titik sudut dan pusat massa dari sisi yang berlawanan. Ada empat sumbu seperti itu (sebut saja$A,B,C,D$). Sepanjang setiap sumbu, kita bisa mendefinisikan$1_i, r_i, r_i^2$ sebagai tiga rotasi dengan $r_i^3= 1$, elemen identitas ($i=A,B,C,D$). Karena ada empat sumbu seperti itu,$|G| = 3\times 4 = 12$. Apakah ini baik-baik saja, atau apakah saya melewatkan sesuatu? Saya sedikit khawatir tentang fakta itu$1_A,1_B,1_C,1_D$ Mungkinkah semuanya sama (karena itu adalah transformasi identitas), dan bahwa saya terlalu banyak menghitung?
Pertanyaan kecil (jalan memutar): Apakah transformasi identitas sesuai dengan sumbu yang berbeda berbeda, atau sama?
Untuk kubus, saya melakukan hal berikut:
- Untuk setiap pasang wajah yang berlawanan, kami memiliki sumbu simetri. Ada$3$ pasangan seperti itu, karenanya $3$ sumbu seperti itu (katakanlah $A,B,C,D$). Tentang setiap sumbu yang kami tentukan$1,r_i,r_i^2,r_i^3$ dengan $r_i^4 = 1$ dimana $i=A,B,C,D$.
- Ada empat diagonal tubuh (katakanlah $E,F,G,H$), dan tentang setiap diagonal (sumbu simetri) yang kami tentukan $1,r_j,r_j^2$ dengan $r_j^3= 1$ dimana $j=E,F,G,H$.
Mengingat perhitungan di atas, kami punya $|G| = 3\times 4 + 4\times 3 = 24$.
Penggunaan metode ini menjadi sulit selanjutnya , untuk padatan yang lebih besar. Tidaklah mudah untuk mengidentifikasi semua sumbu simetri dengan tangan. Selain itu, satu-satunya kelompok yang telah saya pelajari secara mendetail pada saat ini adalah$D_{2n}$, jadi tolong jangan berikan solusi seperti "grup yang dibutuhkan$G$ adalah isomorfik untuk kelompok yang dikenal dan dipelajari dengan baik $X$, dan kami tahu $|X| = ?$ begitu $|G| = ?$"
Saya pikir intinya adalah memiliki cara yang baik untuk menghitung semua gerakan kaku yang berbeda. Bisakah seseorang membantu saya dengan ini?
Saya menemukan solusi James Ha di sini , tetapi saya tidak mengerti bagaimana solusi yang disajikan dalam PDF setara dengan saya bahkan untuk kasus tetrahedron dan kubus. Alangkah baiknya jika seseorang dapat membantu saya melihat kesetaraan, dan juga memberi tahu saya cara melanjutkan dengan padatan platonis lainnya! Terima kasih banyak!
Jawaban
Untuk menambahkan beberapa penjelasan pada jawaban yang ada, dan komentar tambahan:
Seperti yang disebutkan oleh anak jeruk, Anda dapat menyimpulkan ukuran grup simetri dari jumlah transformasi antara dua sisi. Berikut cara untuk melihat ini dengan lebih jelas:
Pertimbangkan tepi terarah pada polihedron, yang terdiri dari simpul dan tepi yang berasal dari simpul itu (atau ekuivalen, tepi dengan salah satu titik akhirnya dibedakan). Jika kita punya$e$ tepi, maka kita punya $2e$dari tepi yang diarahkan ini. Karena kita menggunakan padatan Platonis, masing-masing dapat dibawa ke yang lain (ini mengikuti dengan mudah dari sebagian besar definisi padatan Platonis, tetapi harus cukup intuitif).
Tapi begitu kita tahu bahwa satu sisi terarah $(v_1,e_1)$ pergi ke tepi terarah lainnya $(v_2,e_2)$, kami telah menentukan rotasi sepenuhnya: setelah kami bergerak $v_1$ untuk $v_2$, kami telah membatasi kemungkinan rotasi ke satu sumbu di mana hal-hal dapat berputar (karena kami memiliki titik yang sekarang tidak bergerak), dan hanya satu cara untuk memutarnya yang akan bergerak $e_1$ untuk $e_2$.
Secara khusus, ini berarti bahwa sebuah rotasi ditentukan secara unik di mana ia mengambil satu sisi terarah; sejak masing-masing$2e$ kemungkinan memberi rotasi unik, pasti ada $2e$ kemungkinan rotasi total.
(Jika kita mengizinkan transformasi pembalikan orientasi, ada dua kali lebih banyak; untuk setiap cara untuk mengambil tepi terarah ke yang lain, kita mendapatkan transformasi kedua yang memperbaiki tepi terarah itu dengan merefleksikannya.)
Adapun transformasi identitas yang menetapkan sumbu, ini semua adalah transformasi identitas yang sama; mereka membiarkan bentuknya tidak berubah.
Untuk lebih jelas menguraikan jenis rotasi (mempertahankan orientasi) yang mungkin untuk setiap padatan platonis yang mungkin:
Untuk setiap padatan platonik, kemungkinan rotasi adalah rotasi nontrivial di sekitar titik, a $180^\circ$ rotasi tentang tepi, rotasi nontrivial tentang wajah, atau transformasi identitas.
Untuk tetrahedron, wajah adalah simpul yang berlawanan, jadi ada $4\cdot (3-1)$ simpul nontrivial / rotasi wajah, $1$ identitas, dan $3$ tepi-membalik ($6$ tepi, tetapi dua digunakan per flip), dengan total $12$.
Untuk kubus, ada $8\cdot (3-1)/2$ rotasi simpul, $6\cdot(4-1)/2$ rotasi wajah, $12/2$ membalik tepi, dan $1$ identitas, untuk total $24$.
Untuk oktahedron, ada $6\cdot(4-1)/2$ rotasi simpul, $8\cdot (3-1)/2$ rotasi wajah, $12/2$ membalik tepi, dan $1$ identitas, untuk total $24$.
Untuk dodecahedron, ada $20\cdot(3-1)/2$ rotasi simpul, $12\cdot(5-1)/2$ rotasi wajah, $30/2$ membalik tepi, dan $1$ identitas, untuk total $60$.
Untuk icosahedron, ada $12\cdot(5-1)/2$ rotasi simpul, $20\cdot(3-1)/2$ rotasi wajah, $30/2$ membalik tepi, dan $1$ identitas, untuk total $60$.
Tidak ada pengganti untuk memotong empat segitiga sama sisi yang sama dari karton dan merekatkannya menjadi satu untuk membuat tetrahedron. Setelah Anda melakukannya, letakkan ujung jari di tengah tepi dan ujung jari lainnya di tengah tepi yang berlawanan. Kemudian putar tetrahedron di sekitar sumbu yang menghubungkan ujung jari Anda. Anda harus menemukan bahwa a$180^\circ$rotasi membawa tetrahedron kembali ke dirinya sendiri. Menurut pengalaman saya, ini sulit untuk divisualisasikan sampai Anda melakukannya secara fisik.
Ada tiga pasang sisi yang berlawanan dan karenanya tiga pasang seperti itu $180^\circ$rotasi. Ini, bersama dengan identitas dan delapan rotasi$\pm120^\circ$ tentang berbagai sumbu yang menghubungkan pusat massa wajah ke akun simpul berlawanan untuk semua simetri rotasi tetrahedron.
Padatan Platonis lainnya memiliki kemiripan $180^\circ$rotasi. Tetapi jika Anda hanya ingin menghitung, Anda dapat melakukan sesuatu yang lebih sederhana. Mulailah dengan satu sisi solid menghadap Anda dengan orientasi tetap (katakanlah satu sisi horizontal). Jika itu$m$wajah sepihak, ada $m$ tepi yang bisa menjadi horizontal, dan ini $m$orientasi semua dapat diperoleh satu sama lain dengan memutar di sekitar pusat wajah. Sekarang jika sudah padat$f$ wajah, salah satu dari $f$dapat dibawa ke posisi "menghadap Anda" dengan rotasi. Jadi seharusnya ada$mf$simetri rotasi. Ini menjelaskan segalanya.
Jawaban orangeskid serupa, tetapi bahkan lebih sederhana, dari yang ini. Mulailah dengan tepi menghadap Anda, berorientasi horizontal. Biarkan bidang horizontal yang mengandung tepi ini sedemikian rupa sehingga membagi dua sudut dihedral antara dua permukaan yang bertemu di sepanjang tepi itu. (Dengan kata lain, dari sudut pandang Anda, kedua wajah ini, yang menjauh dari Anda, akan tampak sama.) Sekarang Anda dapat melakukan$180^\circ$rotasi yang dibahas di atas, tetapi Anda juga dapat membawa tepi lain dari benda padat ke posisi "menghadap Anda" dengan satu rotasi. Jadi ada$2e$ simetri.
Untuk polyhedra in $3$ ruang Anda dapat menunjukkan keunggulan itu $a$ dapat dibawa ke tepi lain $b$ oleh $2$ orientasi-mempertahankan transformasi padatan (dapatkan satu, dan kemudian juga bisa berputar $b$). Jika Anda mempertimbangkan semua transformasi, maka ada$4$ transformations.transformations seperti itu.
Karena itu, $|G_{+}(S)| = 2 e$, $|G(S)|= 4 e$, dimana $e$ adalah jumlah tepi $S$.