Bagaimana merumuskan titik potong persamaan nD yang masing-masing memiliki asal yang berbeda?
Katakanlah kita punya $n$-dimensional line / plane / hyperplane $n$ dipersembahkan oleh $n$jumlah persamaan. Perhatikan bahwa setiap persamaan melintasi asal yang berbeda$O\in\mathbb{R}^n$.
Apa cara termudah untuk:
- menghitung, dan secara opsional
- verifikasi (jenis, keberadaan) persimpangan mereka $I\in\mathbb{R}^n$?
Contoh paling sederhana mungkin seperti ini:
$$\begin{equation}\begin{aligned} x_1 + y_1 &= a_1\\ \end{aligned}\end{equation}\tag{1}\label{eq1}$$ $$\begin{equation}\begin{aligned} x_2 + y_2 &= a_2\\ \end{aligned}\end{equation}\tag{2}\label{eq2}$$
dengan \ eqref {eq1} memiliki asal $O_1$ dan \ eqref {eq2} berawal dari $O_2$.
Plot seperti ini:
2 baris dengan asal berbeda dalam $\mathbb{R}^2$
Katakanlah $I$terbukti secara grafis ada seperti di atas. Apa solusi analitis yang ingin dicapai$I_{x}$ dan $I_{y}$?
Poin plus jika dapat dirumuskan sebagai soal aljabar stabil secara numerik.
Jawaban
Jika kita menggunakan notasi vektor, titik $\vec{p}$ berada di hyperplane $\vec{n}, d$ jika dan hanya jika $$\vec{p} \cdot \vec{n} = d \tag{1}\label{1}$$
Tapi, jika definisi hyperplane berkenaan dengan asal $\vec{o}$, maka itu $$(\vec{p} - \vec{o}) \cdot \vec{n} = d \tag{2a}\label{2a}$$ yang setara dengan $$\vec{p} \cdot \vec{n} = d + \vec{o} \cdot \vec{n} \tag{2b}\label{2b}$$
Dengan kata lain, memiliki hyperplane didefinisikan sehubungan dengan beberapa titik tidak di asalnya, hanya mengubah komponen skalar (jarak bertanda) dari hyperplane. Dalam koordinat absolut, komponen skalar dinaikkan oleh perkalian titik antara hyperplane normal dan titik yang digunakan sebagai asal untuk definisi hyperplane.
Jika kami menggunakan $\vec{p} = (p_1 , \dots , p_N)$ untuk koordinat titik yang akan dipertimbangkan, $\vec{n} = (n_1 , \dots , p_N)$ untuk hyperplane normal, dan $\vec{o} = (o_1, \dots, o_N)$ untuk titik yang digunakan sebagai asal definisi hyperplane, kita bisa menulis $\eqref{2a}$ sebagai $$(p_1 - o_1) n_1 + \dots + (p_N - o_N) n_N = d \tag{3a}\label{3a}$$ dan $\eqref{2b}$ sebagai $$p_1 n_1 + \dots + p_N n_N = d + o_1 n_1 + \dots + o_N n_N \tag{3b}\label{3b}$$ atau, dalam bentuk penjumlahan, sebagai $$\sum_{i=1}^{N} p_i n_i = d + \sum_{i=1}^N o_i n_i \tag{3c}\label{3c}$$
Misalkan Anda memiliki dua hyperplanes, $(n_1, \dots, n_N ; d)$ dan $(u_1, \dots, u_N ; p)$, dengan "origins" $(o_1, \dots, o_N)$ dan $(g_1, \dots, g_N)$: $$\left\lbrace ~ \begin{aligned} \sum_{i=1}^N p_i n_i &= d + \sum_{i=1}^N o_i n_i \\ \sum_{i=1}^N p_i u_i &= p + \sum_{i=1}^N g_i u_i \\ \end{aligned} \right . \tag{4} \label{4}$$ dimana kedua persamaan masuk $\eqref{4}$ hanya berlaku untuk $(p_1, \dots, p_N)$ di persimpangan dua hyperplanes.
Satu-satunya perbedaan pada situasi standar adalah jumlah konstanta ekstra yang ditambahkan ke komponen skalar, tergantung hanya pada "asal" (sehubungan dengan definisi hyperplane) dan pada hyperplane normal.
Kita punya $N$hyperplanes. Mari gunakan notasi$\vec{n}_i = (n_{i, 1}, \dots, n_{i, N})$ untuk vektor normal mereka, dan $d_i$ untuk jarak tanda mereka dari asal absolut, yaitu termasuk jumlah konstan di sisi kanan dalam $\eqref{3c}$ atau $\eqref{4}$.
Jika kita membentuk matriks $\mathbf{M}$, dengan setiap baris terdiri dari hyperplane normal, $$\mathbf{M} = \left[ \begin{matrix} n_{1, 1} & n_{1, 2} & \dots & n_{1, N-1} & n_{1, N} \\ n_{2, 1} & n_{2, 2} & \dots & n_{2, N-1} & n_{2, N} \\ \vdots & \vdots & ~ & \vdots & \vdots \\ n_{N-1, 1} & n_{N-1, 2} & \dots & n_{N-1, N-1} & n_{N-1, N} \\ n_{N, 1} & n_{N, 2} & \dots & n_{N, N-1} & n_{N, N} \\ \end{matrix} \right ] \tag{5}\label{5}$$ dan vektor kolom $y$ dari jarak yang ditandatangani termasuk jumlah kompensasi "asal" yang konstan, $$y = \left[ \begin{matrix} d_1 \\ d_2 \\ \vdots \\ d_{N-1} \\ d_{N} \\ \end{matrix} \right ] \tag{6}\label{6}$$ dengan $x$ menjadi vektor kolom untuk titik persimpangan, sistem persamaan menjadi $$\mathbf{M} x = y \tag{7a}\label{7a}$$ Ini ada solusinya jika $\mathbf{M}$ bisa dibalik, $$x = \mathbf{M}^{-1} y \tag{7b}\label{7b}$$
Dalam program komputer, $\mathbf{M}$dapat mendekati singular jika beberapa normals hampir linier (yaitu, perkalian titik berpasangan dekat dengan perkalian norma Euclidean mereka; atau, ekuivalen, normals hampir paralel atau hampir berlawanan). Jelas, jika dua atau lebih dari normalnya sejajar atau berlawanan, maka persimpangan bukan lagi sebuah titik.
Kecuali jika Anda memiliki persyaratan tambahan yang tidak dinyatakan, pada dasarnya pustaka aljabar linier apa pun seharusnya berfungsi dengan baik.