Bagaimana saya bisa mendefinisikan set ini?

Question

Membiarkan $A_1,..., A_n$menjadi keluarga set set. Saya ingin membuat set sekarang sebagai berikut:

Set $B$ terbuat dari gabungan semua kemungkinan kombinasi elemen dari set mana pun.

Misalnya: Biarkan $A_1=\{\{1\},\{2\}\}$, $A_2 = \{\{3\}\}$ dan $A_3 = \{\{4\}\}$. Kemudian set$B$ seharusnya:

$$B=\{\{1\},\{2\}, \{3\},\{4\},\{1,2\},\{1,3\},\{1,4\},\{2,3\},\{2,4\},\{3,4\},\{1,2,3\},\{1,2,4\},\{2,3,4\},\{1,3,4\},\{1,2,3,4\}\}$$

Pertanyaan saya adalah, bagaimana saya bisa menulis set ini secara resmi?

Pendekatan saya adalah sebagai berikut:

• Pertama mari kita letakkan semua elemen yang ingin kita gabungkan dalam set yang sama: $\bigcup\limits_n A_n$

• Lalu mari kita ambil set daya itu: $\mathcal P\left(\bigcup\limits_n A_n\right)$
  Dalam rangkaian kekuatan ini kami memiliki semua kombinasi yang kami inginkan:

Sekarang kita bisa mendefinisikan $B$ sebagai:

$$B = \left\{ \bigcup_{a \in A} a : A \in \mathcal P\left(\bigcup\limits_n A_n\right)\right\}$$

Pertanyaan saya adalah, Apakah saya terlalu rumit? Apakah ada cara lain untuk mendefinisikan himpunan ini?

Answer 1

$\bigcup_nA_n$ adalah kumpulan dari semua set yang darinya Anda dapat menggambar elemen, jadi $\bigcup\bigcup_nA_n$ adalah kumpulan dari semua elemen yang dapat Anda gunakan untuk membentuk anggota $B$; dalam contoh Anda

$$\bigcup_nA_n=\big\{\{1\},\{2\},\{3\},\{4\}\big\}\,,$$

dan

$$\bigcup\bigcup_nA_n=\{1,2,3,4\}\,.$$

Rupanya Anda hanya menginginkan subset yang tidak kosong dari $B$, jadi

$$B=\wp\left(\bigcup\bigcup_nA_n\right)\setminus\{\varnothing\}\,.$$