Bagaimana sejarah dari istilah 'co-domain'?
Saya ingin tahu apakah ada yang tahu lebih banyak tentang sejarah istilah 'domain bersama' yang berkaitan dengan fungsi.
Dua sumber yang saya temukan:
Russell dan Whitehead, Principia Mathematica, 1915, halaman 34:
kelas dari semua istilah dimana sesuatu atau lainnya memiliki hubungan $R$disebut domain kebalikan dari$R$; itu sama dengan domain kebalikan dari$R$.
Cassius Keyser, Filsafat Matematika, 1922, halaman 168:
Sebuah relasi $R$telah apa yang disebut domain , - kelas semua persyaratan seperti yang masing-masing memiliki hubungan dengan sesuatu atau lainnya, - dan juga kodomain - kelas semua persyaratan seperti itu, mengingat salah satu dari mereka, sesuatu yang memiliki hubungannya dengan itu.
Tampak bagi saya bahwa ketika Keyser berbicara tentang 'codomain', dia berbicara tentang hal yang sama dengan 'converse domain' Russell dan Whitehead. Jadi, sepertinya kita beralih dari 'converse domain' ke 'codomain' .... menjadi 'co-domain'? Sepertinya itu masuk akal.
Juga, kedua teks berbicara tentang relasi, bukan fungsi. Namun, suatu fungsi tentu saja merupakan jenis hubungan yang khusus. Jadi ... itu masih masuk akal.
Namun! (dan inilah mengapa saya mengajukan pertanyaan ini): cara kedua teks ini berbicara tentang 'converse domain' dan 'codomain' adalah (bila diterapkan pada fungsi) yang sekarang kita sebut 'range' atau 'image' dari berfungsi, dan bukan yang sekarang kita sebut 'domain bersama'.
Contoh konkrit:
Ambil satu fungsi $f$ yang domainnya didefinisikan sebagai $\mathbb{R} - \{ 0 \}$, yang domain bersama didefinisikan sebagai $\mathbb{R}$, dan yang pemetaannya didefinisikan sebagai $f(x) =1/x$.
Untuk fungsi ini, rentang atau gambarnya adalah $\mathbb{R} - \{ 0 \}$, dan itulah yang (sekali lagi, jika kita melihat fungsi ini sebagai relasi) Russell & Whitehead akan mempertimbangkan 'domain sebaliknya' yang oleh Keyser disebut 'domain kode'.
Tetapi 'domain bersama' dari fungsi ini didefinisikan sebagai $\mathbb{R} - \{ 0 \}$
Jadi saya pikir telah terjadi pergeseran dalam penggunaan istilah ... Artinya, sepertinya kita mendapat:
'domain converse' -> 'codomain' -> 'range'
... sedangkan 'co-domain' adalah sesuatu yang berbeda!
Ini aneh! Apa yang terjadi? Adakah yang punya wawasan tentang semua ini?
Jawaban
Ini adalah pengenalan awal dualitas dalam teori himpunan. Domain vs Codomain menunjukkan hubungan yang hilang dari domain dan range.
Ini tersembunyi dalam teori himpunan karena fungsi bias karena tidak didefinisikan secara simetris. Juga tidak mudah untuk mengkonseptualisasikan satu ke banyak fungsi secara alami, dan untuk fungsi banyak ke satu, yang mereka lakukan secara alami.
Ini diperbaiki dalam teori kategori di mana dualitas dibuat eksplisit, bukan secara rahasia dan sembunyi-sembunyi dilakukan dalam teori himpunan. Selain itu, teori kategori adalah konseptualisasi kovarians yang benar seperti dalam gagasan kovarian umum yang digunakan Einstein secara heuristik dalam penyelidikannya terhadap karakter umum hukum fisika.
Menariknya, salah satu penemuan utama teori string adalah peran yang dimainkan dualitas dalam fisika. (Dalam fisika biasa, kita melihat dualitas memanifestasikan dirinya dalam dualitas antara medan listrik dan magnet). Tidaklah mengejutkan saya jika pada dasarnya ini memiliki akar yang sama dengan dualitas dalam teori kategori.