Bagaimana vektor tergantung afinely (dalam) dalam $\mathbb R^n$ diatur di luar angkasa?

Question

Pertimbangkan satu set vektor yang terbatas $\{v_i\}_i\subset\mathbb R^n$.

Himpunan ini bebas linear jika $\sum_k \alpha_k v_k=0$ menyiratkan $\alpha_k=0$. Secara geometris, saya memahami ketergantungan linier sebagai pernyataan bahwa sekumpulan vektor terkandung dalam bidang-hiper yang melewati titik asal.

Di sisi lain, kami mengatakan itu $\{v_i\}_i$sangat tergantung jika$\sum_k \alpha_k v_k=0$ untuk $\alpha_k$tidak semuanya nol dan semacam itu$\sum_k\alpha_k=0$. Apakah ada intuisi geometris yang serupa untuk divisualisasikan ketika menjadi himpunan$\{v_i\}_i$ apakah tergantung / independen?

Answer 1

Karakterisasi Anda dari ketergantungan linear (dalam) kurang tepat. Setiap himpunan vektor terkandung dalam beberapa jenis bidang-hiper melalui titik asal, yaitu rentangnya.

Sebaliknya, saya akan mengatakan bahwa himpunan vektor berhingga bergantung secara linier jika mereka berada dalam bidang hiper melalui titik asal yang dimensinya kurang dari jumlah vektor dalam himpunan tersebut.

Dan dengan nada yang sama, satu set poin yang terbatas $\mathbb R^n$sangat tergantung jika terletak pada bidang-hiper yang dimensinya kurang dari jumlah titik dalam himpunan dikurangi 1 . Jadi, 3 titik berbeda pada sebuah garis bergantung secara afinif, tetapi 2 titik berbeda pada sebuah garis tidak bergantung secara afinif.

Ada gambaran geometris lain yang bagus tentang independensi affine:

• Sepasang titik adalah afinely independen jika itu adalah himpunan titik akhir dari segmen garis (yang terjadi jika dan hanya jika dua titik pada pasangan itu tidak sama)
• rangkap tiga titik adalah afinely independen jika itu adalah himpunan puncak segitiga
• sebuah quadruple of points adalah afinely independen jika itu adalah himpunan puncak dari tetrahedron
• Sebuah $k$-tuple of points adalah afinely independen jika itu adalah himpunan puncak dari a $k-1$simpleks dimensi .

Answer 2

Seperti yang dikatakan @ runway44, affinely-dependent berarti "mereka semua dalam hyperplane", meskipun mungkin hyperplane yang tidak mengandung origin. Untuk melihat ini dengan cepat, ambil$k+1$ vektor $$ v_0, v_1 \ldots, v_k $$ dengan $$ \sum a_i v_i = 0, \sum a_i = 1 $$ dan kurangi $v_0$ dari masing-masing $v_1, \ldots, v_k$ mendapatkan $w_1, \ldots, w_k$.

Kemudian vektornya $w_k$semua terletak pada hyperplane paralel melalui titik asal. (Layak dilakukan aljabar untuk menetapkannya sendiri).

Atau, dalam bentuk yang lebih klasik, jika kita ambil $v_0$ sebagai asal mula sistem koordinat baru, kemudian sisanya $v_i$ vektor semua terletak dalam bidang-hiper.