Bentuk diferensial yang dukungannya berada di lingkungan tubular $T^k\times \{0\}^{n-k}\subset T^n$

Question

Membiarkan $\alpha$ menjadi bentuk diferensial di torus $T^n$ yang mendukung $\mathrm{supp}(\alpha)$ terkandung di lingkungan kecil subtorus $T^k\equiv T^k\times \{0\}^{n-k}$.

Pertanyaan: Misalkan$\alpha$tertutup atau bahkan harmonis sehubungan dengan beberapa metrik. Saya bertanya-tanya apakah kelas cohomology de Rham$[\alpha]\in H^*_{dR}(T^n)$ harus hidup dalam citra kemunduran $H^*_{dR}(T^k)\to H^*_{dR}(T^n)$ diinduksi oleh proyeksi $T^n\to T^k$.

Sebenarnya saya pertama kali memikirkan pertanyaan berikut: jika $S$ adalah rantai / siklus tunggal yang citranya terkandung di lingkungan kecil $T^k$, lalu apakah kita punya $[S]\in H_*(T^n)$ harus terletak pada citra $H_*(T^k)\to H_*(T^n)$? Jawaban untuk ini harus positif karena kami dapat terus menariknya kembali$S$ ke $T^k$. Tapi dalam teori cohomology seperti di atas, saya jadi bingung.

Untuk kesederhanaan orang mungkin berasumsi $k=1$ dan $n=2$. Untuk lebih umum, kita dapat mempertimbangkan sepasang lipatan halus (kompak)$N\subset M$ bukan torus $T^k\subset T^n$.

Answer 1

Dengan kekompakan, $\operatorname{supp}(\alpha)\subset T^k\times B^{n-k}$, dimana $B^{n-k}\subset T^{n-k}$adalah bola terbuka kecil. Begitu$[\alpha]$ adalah dalam gambar $H^*_{dR}(T^n,T^n\setminus T^k\times B^{n-k})\to H^*_{dR}(T^n)$. Dengan rumus dan eksisi Künneth,$$ H^*_{dR}(T^n,T^n\setminus T^k\times B^{n-k}) \cong H^*_{dR}(T^k)\otimes H^*_{dR}(\overline{B^{n-k}},\partial B^{n-k})\;.$$ Faktor kedua hanya memiliki kohomologi dalam derajat $n-k$, dihasilkan oleh, katakanlah $[\omega]$. Gambar$[\omega]$ di $H^{n-k}(T^{n-k})$adalah generator juga. Jadi ada yang unik$\beta\in H^*_{dR}(T^k)$ seperti yang $$[\alpha]=[\beta]\otimes[\omega]\;.$$

Lebih umum lagi, biarkan $N\subset M$ keduanya kompak dan biarkan $N$ memiliki bundel normal yang dapat diorientasikan $\nu$. Jika$U\subset M$ adalah lingkungan tubular $N$ dengan $\operatorname{supp}(\alpha)\subset U$, kemudian $U$ bersifat difeomorfik terhadap $\nu$ dan $[\alpha]$ adalah dalam gambar $$H^*_{dR}(N)\stackrel\Theta\longrightarrow H^*_{dR}(M,M\setminus U)\longrightarrow H^*_{dR}(M)\;,$$ dimana $\Theta$adalah isomorfisme Thom untuk bundel normal (diikuti dengan eksisi). Komposisi ini terkadang dilambangkan$\iota_!$ ($\iota\colon N\to M$adalah inklusi). Ini meningkatkan derajat dengan pangkat bundel normal.

Jika keduanya $N$ dan $M$ berorientasi, maka begitu juga $\nu$, dan yang bisa dijelaskan $\iota_!$ dengan mengkonjugasikan dorongan ke depan $\iota_*$ dalam homologi dengan dualitas Poincaré aktif $N$ dan $M$.