Bentuk fundamental pertama

Question

Wolfram MathWorld mendefinisikan paraboloid dan parameter diferensial sebagai

\begin{align*} P&=\left(\frac{\partial x}{du}\right)^2+\left(\frac{\partial y}{du}\right)^2+\left(\frac{\partial z}{du}\right)^2= \\ &=1+\frac{1}{4u} \\ Q&=\frac{\partial x}{du}\frac{\partial x}{dv}+\frac{\partial y}{du}\frac{\partial y}{dv}+\frac{\partial z}{du}\frac{\partial z}{dv}= \\ &=\frac{1}{2\sqrt{u}}(\cos v - \sin v) \\ R&=\left(\frac{\partial x}{dv}\right)^2+\left(\frac{\partial y}{dv}\right)^2+\left(\frac{\partial z}{dv}\right)^2= \\ &=u \\ \end{align*}

Sekarang, jika parameter ini sesuai dengan koefisien $E$, $F$ dan $G$dijelaskan di sini , saya tidak mengerti bagaimana mereka sampai pada ungkapan untuk$Q$.

Answer 1

Terlepas dari komentar / jawaban lain, kuantitas ini adalah bentuk fundamental pertama yang biasa. Perhatikan bahwa tautan Wiki mendefinisikan$g_{ij} = X_i\cdot X_j$. Ini biasa$E,F,G$, dan mereka adalah produk titik dari turunan parametrization terhadap variabel independen. Dalam kasus Anda, parameter pertama adalah$u$ dan parameter kedua adalah $v$, dan kami memang punya \begin{align*} P&=X_u\cdot X_u=E,\\ Q&=X_u\cdot X_v=F, \quad\text{and} \\ R&=X_v\cdot X_v=G. \end{align*} Saya tidak yakin mengapa Wolfram menggunakan huruf yang berbeda.

Jika Anda menginginkan referensi lebih lanjut, lihat teks geometri diferensial saya .

Answer 2

Bentuk fundamental pertama adalah hasil kali dalam dari ruang singgung di beberapa titik permukaan jika Anda mempertimbangkan permukaan yang terdapat di ruang ambien $\mathbb{R}^3$. Jika Anda memiliki paraboloid$z=b(x^2+y^2)$, maka vektor garis singgung permukaan yang menghasilkan ruang singgung adalah

$v=[1,0, 2bx]$

dan

$w=[0,1,2by]$

Pada titik ini, koefisien dari bentuk fundamental pertama dapat dihitung sebagai berikut

$E=\langle v, v \rangle=1+4b^2x^2$

$F=4b^2xy $

$G=1+4b^2y^2$

Di link Anda tentang paraboloid, saya kira argumennya adalah geodesik pada paraboloid.