Berapa banyak $3\times 3$ array dengan digit dari $1$ untuk $9$ dengan meningkatnya ketertiban apakah ada?

Aug 16 2020

Entri dalam a $3 \times 3$ array mencakup semua digit dari $1$ melalui $9$, disusun sedemikian rupa sehingga entri di setiap baris dan kolom berada dalam urutan yang meningkat. Berapa banyak array seperti itu?

Ini adalah pertanyaan tentang kombinatorika. Saya mencoba menggunakan tablo dan menggunakan nomor kait tetapi tidak bisa mengerti setelah itu tolong beri tahu cara menyelesaikan ini. Akan lebih mudah bagi saya jika diselesaikan dengan menggunakan kombinatorik normal. Tapi tidak ada batasan. Itu pilihanmu

Jawaban

1 Moko19 Aug 16 2020 at 22:15

Menggunakan notasi $(A,B,C)$ untuk mendeskripsikan nomor tersebut $C$ berlokasi di $A$ baris dan $B$kolom. Karena simetri, transpos (refleksi melintasi diagonal utama) solusi apa pun adalah solusi yang berbeda, dengan kata lain, jika kita memiliki solusi:$$\{(A_1,B_1,1), (A_2,B_2,2), (A_3,B_3,3), (A_4,B_4,4), (A_5,B_5,5), (A_6,B_6,6), (A_7,B_7,7), (A_8,B_8,8), (A_9,B_9,9)\}$$ lalu kami juga punya solusi: $$\{(B_1,A_1,1), (B_2,A_2,2), (B_3,A_3,3), (B_4,A_4,4), (B_5,A_5,5), (B_6,A_6,6), (B_7,A_7,7), (B_8,A_8,8), (B_9,A_9,9)\}$$

Karena setiap baris dan kolom harus dalam urutan yang meningkat, kita tahu bahwa solusi kita harus menyertakan $(1,1,1)$ dan $(3,3,9)$.

Kami memiliki dua pilihan untuk menempatkan nomor tersebut $8$. Karena kesimetrisan, kami hanya akan mempertimbangkan solusi dengan$(3,2,8)$, dan hanya perlu menggandakan jumlah solusi.

Kami sekarang memiliki dua pilihan tempat untuk meletakkan $7$:

Kasus 1: $(3,1,7)$

Nomor $6$ dikunci sebagai $(2,3,6)$. Nomor$5$ bisa di $(2,2,5)$ atau $(1,3,5)$. Jika$(2,2,5)$, lalu angkanya $2,3,4$harus berada di tiga tempat yang tersisa; segera setelah kami memilih mana yang masuk$(2,1,X)$, kemudian sisanya dikunci di tempatnya, memberikan tiga solusi dengan $(3,1,7)$ dan $(2,2,5)$. Jika$(1,3,5)$, maka kita harus memilikinya $(2,2,4)$, dan hanya memiliki keduanya $(1,2,2)$ dan $(2,1,3)$ atau $(1,2,3)$ dan $(2,1,2)$ untuk dua solusi lainnya.

Kasus 2: $(2,3,7)$

Angka-angka $5$ dan $6$harus berada di dua dari tiga titik antidiagonal utama (kanan atas, alun-alun tengah, dan kiri bawah). Oleh karena itu$3!=6$cara menugaskan mereka. Dalam dua kasus di mana tidak ada satu pun di ruang tengah, nomor tersebut$4$ harus berada di tengah-tengah, dan ada dua kemungkinan susunan angka $2$ dan $3$. Dalam masing-masing dari empat kasus lainnya, ada dua kasus di mana jumlahnya$4$berada di ruang yang tersisa di antidiagonal utama dan di tempat yang tidak. Ini menghasilkan total 16 pengaturan jika$(2,3,7)$.

Oleh karena itu, jumlah pengaturannya adalah $2(3+2+2\cdot2+4\cdot3)=42$

1 BarryCipra Aug 31 2020 at 16:36

Itu $1$ dan $9$harus jelas di masing-masing sudut kiri atas dan sudut kanan bawah. Sangat mudah untuk melihat bahwa file$5$ tidak boleh berdekatan dengan $1$ atau $9$, karena itu ia harus berada di salah satu dari tiga titik di "anti" diagonal. Menemukan sedikit notasi, kita dapat menulis jumlah kemungkinan sebagai

$$\#\pmatrix{1&*&\\*&5&-\\&-&9}+2\times\#\pmatrix{1&*&5\\*&&-\\&-&9}$$

Dimana "$\#$"dari sebuah $3\times3$ array menunjukkan jumlah solusi dengan $1$, $5$, dan $9$ di tempat yang ditentukan, dengan masing-masing $*$ dipahami sebagai angka antara $1$ dan $5$ dan masing-masing $-$ nomor antara $5$ dan $9$. "$2\times\,$"adalah untuk simetri yang akan memiliki $5$di pojok kiri bawah. Dengan simetri yang sama, kita punya

$$\#\pmatrix{1&*&\\*&5&-\\&-&9}=2\times\#\pmatrix{1&*&*\\*&5&-\\-&-&9}$$

dan sekarang mudah untuk melihat ketiganya $*$bisa diisi dengan angka $2$, $3$, dan $4$ hanya $3$ cara yang berbeda, dan begitu juga untuk ketiganya $-$dengan nomornya $6$, $7$, dan $8$, yang seperti itu