Berapa nilai maksimum yang mungkin dari $E[X_1 X_2 X_3]$?

Question

Menganggap $X_1,X_2,X_3$ adalah variabel acak diskrit yang ditentukan pada ruang probabilitas umum $\Omega$ dan menerima nilai $\{-1,1\}$. Selanjutnya, asumsikan itu$E[X_1]=E[X_2]=E[X_3]=E[X_1 X_2]=E[X_2 X_3]=E[X_3 X_1]=0$. Mengingat ini, berapa nilai maksimum yang mungkin$E[X_1 X_2 X_3]$?

Sangat mudah untuk melihatnya $P(X_i=\pm 1)=P(X_i X_j = \pm 1)={1 \over 2}$ untuk setiap $i,j \in I_3 (i \neq j)$. Tapi bagaimana saya bisa berkembang lebih jauh? Bantuan apa pun akan dihargai.

Answer 1

Membiarkan $a=E[X_1 X_2 X_3]$

Tentu saja kami punya $-1 \le a \le 1$

Setelah parameterisasi ini kita dapat menulis probabilitas gabungan sebagai

$$P(x_1,x_2,x_3)=\frac18( a \, x_1 x_2 x_3 +1)$$ yang memberikan batasan tambahan $$0\le P(x_1,x_2,x_3)\le 1$$ atau $0\le \frac18 (1-a) \le 1$ dan $0\le \frac18 (1+a) \le 1$

Tapi ini diverifikasi oleh kandidat asli untuk maksimal ($a=1$)

Karenanya maksimumnya adalah $E[X_1 X_2 X_3]=1$ yang dicapai oleh

$$P(x_1,x_2,x_3) = \frac18( x_1 x_2 x_3 +1)= \begin{cases} \frac14 & \text{if } x_1 x_2 x_3 = 1 \\ 0 &\text{if } x_1 x_2 x_3 = -1 \end{cases}$$

Answer 2

Biarkan ada empat keadaan masing-masing dengan probabilitas $1 \over 4$: $(X_1,X_2,X_3)\in \{(1,-1,-1),(1,1,1),(-1,-1,1),(-1,1,-1)\}$.

Anda dapat memeriksa apakah kondisi tersebut berlaku. Namun,

$$E(X_1X_2X_3)=1,$$

yang jelas merupakan nilai tertinggi yang dapat diambil ungkapan ini.