Berapa nilai yang membuat panjang interval kepercayaan minimum?
Variabel acak $X$ mengikuti $$f(x|\theta)=\frac{1}{2}e^{-|x-\theta|} \quad -\infty<x<\infty$$
Saya mempertimbangkan interval keyakinan $\theta$, $S(X)=[X-b,X+c]$.
Saat saya menetapkan tingkat kepercayaan pada $1-\alpha$, apa nilainya $b$ dan $c$ yang merupakan panjang minimum interval keyakinan $d=b+c$?
Apa yang saya temukan
Pertanyaan sebelumnya menanyakan tentang probabilitas $${\theta-c \leq X \leq \theta +b}$$
dan saya dengan mudah mendapatkan jawabannya $$\int_{\theta -c }^{\theta+b } f(x|\theta) dx=\frac{1}{2}(e^b-e^c)$$
Saya pikir jika saya membutuhkan interval kepercayaan $/theta$, Saya perlu mengatur $$P(X-b\leq\theta\leq X+c)>1-\alpha$$ tapi saya tidak tahu PDF dari $\theta$. Di sinilah saya terjebak.
Ada yang bisa bantu saya?
Jawaban
Karena pdf yang Anda berikan adalah pdf bersyarat dari X di bawah θ yang diberikan, maka dimungkinkan untuk mendapatkan interval kepercayaan (CI) dari X di bawah θ yang diberikan, tetapi bukan CI dari θ.
Sebaliknya, jika pdf dari f (θ | x) diberikan dengan ekspresi yang sama, maka CI terpendek dari θ dapat diturunkan sebagai S (x) = [x + ln (alfa) x-ln (alfa)].
Ada kesalahan dalam hasil probabilitas Anda (yang harus jelas dengan fakta bahwa itu tidak terbatas). Menggunakan interval$\text{CI}(X) = [X-b, X+c]$ Anda harus memiliki probabilitas cakupan:
$$\begin{align} \mathbb{P}(\theta \in \text{CI}(X)) &= \mathbb{P}(X-b \leqslant \theta \leqslant X+c) \\[6pt] &= \mathbb{P}(\theta-c \leqslant X \leqslant \theta+b) \\[6pt] &= \int \limits_{\theta-c}^{\theta+b} \text{Laplace}(x|\theta,1) \ dx \\[6pt] &= \frac{1}{2} \int \limits_{\theta-c}^{\theta+b} e^{-|x-\theta|} \ dx \\[6pt] &= \frac{1}{2} \Bigg[ \ \int \limits_{\theta}^{\theta+b} e^{-x+\theta} \ dx - \int \limits_{\theta}^{\theta+c} e^{-x+\theta} \ dx \Bigg] \\[6pt] &= \frac{1}{2} \Bigg[ (1-e^{-b}) - (1-e^{-c}) \Bigg] \\[6pt] &= \frac{e^{-c} - e^{-b}}{2}. \\[6pt] \end{align}$$
(Perhatikan bahwa, tidak seperti hasil Anda, ini mendekati saat $b \rightarrow \infty$ atau $c \rightarrow \infty$.) Jadi, menemukan interval kepercayaan optimal dari formulir ini mengharuskan Anda untuk menyelesaikan masalah pengoptimalan berikut:
$$\text{Minimise } b+c \quad \text{ subject to } \quad e^{-c} - e^{-b} = 2(1-\alpha).$$
Dengan sedikit usaha, Anda dapat menunjukkan bahwa optima terjadi kapan $b=c$, sehingga interval kepercayaan optik adalah satu dengan titik tengah di $x$. Ini tidak mengejutkan, mengingat distribusi Laplace simetris di sekitar parameter mean$\theta$.