Berapakah rata-rata kelengkungan silinder yang panjangnya tak terhingga?

Question

Adakah yang bisa membantu saya memahami bagaimana saya bisa menghitung kelengkungan rata-rata dari radius silinder yang panjangnya tak terhingga $R$? Saya tahu definisi kelengkungan rata-rata sebagai

$H = \frac{1}{2}(\kappa_1 + \kappa_2)$

dimana $\kappa_i$ adalah $i$kelengkungan utama. Karena silindernya sangat panjang, saya kira$\kappa_2 = 0$(di sepanjang sumbu). Bisakah seseorang mengkonfirmasi ini?

Kemudian kelengkungan rata-rata silinder dengan panjang tak terhingga dengan jari-jari $R$ akan sederhana

$H = \frac{1}{2R}$

Terima kasih untuk bantuannya!

Answer 1

Hasil Anda benar.

Pilih satu titik di permukaan silinder. Anda harus meyakinkan diri sendiri bahwa satu arah utama tegak lurus dengan sumbu silinder (tetapi dimulai dari titik permukaan Anda). Sepanjang arah ini permukaan tampak seperti lingkaran dengan jari-jari$R$, jadi kelengkungan utama untuk arah ini adalah $\kappa_1=\frac1R$. Arah utama lainnya sejajar dengan sumbu silinder, dan sepanjang arah ini, permukaan terlihat (secara lokal di dekat titik Anda) seperti garis lurus, jadi$\kappa_2=0$. Jadi dari rumusnya$H=\frac12 (\kappa_1+\kappa_2)$ Anda mendapatkan kelengkungan rata-rata yang Anda sebutkan.

Seperti yang dikatakan TonyK, ini sama untuk poin mana pun yang Anda pilih. Jadi jika Anda menganggap$H$ sebagai fungsi, memetakan setiap titik di permukaan ke bilangan real, lalu $H$ konstan, untuk permukaan silinder.

Seperti yang kita lihat, kelengkungan rata-rata adalah properti lokal , jadi tidak masalah apakah panjang silinder tak terhingga atau tidak; selama ada lingkungan di sekitar titik yang Anda pertimbangkan, di mana permukaannya berbentuk silinder, maka rata-rata kelengkungan pada titik tersebut adalah$\frac1{2R}$.