Bi-annihilator dari subruang rangkap dua dari ruang vektor berdimensi tak hingga

Question

Membiarkan $V$menjadi ruang vektor berdimensi tak hingga dan$V^*$itu ganda.
Untuk subruang linier$W\subset V$ menetapkan $W^ \circ\subset V^*$ sebagai subruang dari bentuk linier $V$ menghilang $W$.
Dually, untuk$\Gamma\subset V^*$ menetapkan $\Gamma^\diamond \subset V$ sebagai himpunan vektor $v\in V$ seperti yang $\gamma(v)=0$ untuk semua bentuk linier $\gamma\in \Gamma$.
Ini sedikit mengejutkan tetapi tidak terlalu sulit untuk menunjukkan bahwa kami memiliki untuk semua subruang$W\subset V$ kesetaraan $(W^\circ) ^\diamond=W$.
Tapi apakah benar itu untuk semua$\Gamma\subset V^*$ kita punya $(\Gamma^\diamond)^\circ=\Gamma$?
Dan adakah referensi (artikel, buku, catatan kuliah, ...) dimana masalah ini disebutkan?

Answer 1

Tidak, $(\Gamma^\diamond)^\circ$ tidak selalu sama $\Gamma$. Membiarkan$\mathcal B$ menjadi dasar untuk $V$, dan biarkan $\Gamma$ menjadi rentang dari himpunan 'ganda' $\{e_b \mathrel: b \in \mathcal B\}$, jadi $e_b(c)$adalah braket Iverson $[b = c]$ untuk semua $b, c \in \mathcal B$. Kemudian$\Gamma^\diamond$ aku s $0$, jadi $(\Gamma^\diamond)^\circ$ adalah semua $V^*$; tapi$\Gamma$ itu sendiri tidak mengandung, misalnya, elemen $\sum_{b \in \mathcal B} e_b$ dari $V^*$.

Answer 2

Kesetaraan itu salah secara umum.
Berikut adalah contoh balasannya: perbaiki dasar$v_i, i\in I$ dari $V$ dan pertimbangkan himpunan bentuk linier koordinat $v^*_i, i\in I$.
Bentuk-bentuk ini independen secara linier tetapi tidak pernah menjadi dasar sejak itu$V$berdimensi tak hingga.
Jadi lengkapi formulir ini menjadi dasar$(v^*_j), j\in J$ dengan $J\setminus I\neq\emptyset$.
Memilih$l\in J\setminus I$ dan letakkan $J'=J\setminus \{l\}$
Jika Anda mendefinisikan $\Gamma \subset V^*$ sebagai ruang vektor yang dihasilkan oleh $v_j^*, j\in J'$, kemudian $\Gamma^\diamond =0$ (karena sudah merupakan subruang dari $V^*$ dihasilkan oleh $v_i^*, i\in I$ bunuh semua vektor di $V$) yang seperti itu $\Gamma\subsetneq (\Gamma^\diamond)^\circ=\{0\}^\circ=V^*$ menghasilkan counterexample yang dibutuhkan.