Biarkan incircle menyentuh $AB$ dan $AC$ di $F$ dan $E$. Membiarkan $C \cap FE=L$ dan $BI \cap EF= N$. Menunjukkan bahwa $B,L,N,C$ adalah siklik.

Question

Membiarkan $ABC$ jadilah segitiga dengan I sebagai incentre dan biarkan lingkaran bersentuhan $AB$ dan $AC$ di $F$ dan $E$. Membiarkan$C\cap FE=L$ dan $BI\cap EF= N$. Menunjukkan bahwa$B,L,N,C$ adalah siklik.

Sekarang, saya belum mendapatkan kemajuan yang signifikan tetapi inilah pengamatan saya:

• $BLNC$ berbentuk siklik, berbaring di atas lingkaran dengan diameter $ BC$
• $FLIB$ dan $NIEC$ juga siklik.

Saya pikir pertanyaan ini mudah dibantah tetapi saya ingin mendapatkan bukti sintetis.

Terima kasih sebelumnya !

Answer 1

Klaim. $\angle BLI=90$

Bukti klaim. Cukup untuk ditampilkan$BFLI$ adalah siklik dimana $D=\odot(I)\cap BC$. Untuk ini, perhatikan itu$$\angle LDB=\pi - \angle LDC=\pi - \angle LEC=\angle AEF=\angle AFE$$Jadi, $BFLI$adalah siklik. Ini melengkapi bukti klaim.

Demikian pula, kami mendapatkan, $\angle BLC=90=\angle BNC$ begitu $BLNC$ adalah siklik dengan $BC$ sebagai diameter.

Answer 2

Mengetahui bagaimana cara membuktikannya $FLIB$ dan $NIEC$ adalah siklik Anda lebih dari setengah jalan menyelesaikannya.

Anda perlu membuktikan $\angle LBN=\angle LCN$ (kemudian $BLNC$bersiklus).
Tapi$\angle LBI=\angle LFI$ sejak $BFLI$adalah siklik,
demikian pula$\angle ICN=\angle IEN$ sejak $NIEC$ adalah siklik.

Jadi, Anda perlu membuktikan $\angle IFE=\angle IEF$ tapi itu benar sejak itu $\triangle IEF$ sama kaki - $IF=IE$ adalah innerradii.