Bilangan prima relatif terhadap $0$
Pertanyaan ini lebih umum, tetapi saya akan menggunakan teorema untuk memotivasi itu.
Misalkan saya ingin membuktikan bahwa ada rasional $r$ seperti yang $r^3 + r + 1 = 0$. Langkah pertama adalah mengasumsikan bahwa ada$r$, jadi $r = \frac{p}{q}$ dimana $p,q \in \mathbb{Z}$, $q \neq 0$ dimana $p,q$ relatif prima.
Inilah pertanyaan saya. Jika ini$r$ itu $0$ (tidak, dan saya bisa mengesampingkannya, tapi saya tertarik apakah saya benar-benar perlu mengesampingkannya untuk ketelitian penuh), itu $r = \frac{0}{q}$. Tapi$0 \cdot 0 = 0$ dan $0 \cdot q = 0$, jadi keduanya $p$ dan $q$ memiliki faktor persekutuan $0$.
Tapi $\gcd(p,q) = 1$, tetap, sejak $1 > 0$, dan sepertinya tidak masalah jika $q$ negatif.
Berdasarkan ini, kesimpulan saya adalah bahwa tidak masalah jika $p = 0$dan saya tidak perlu mempertimbangkan ini. Apakah itu benar? Jika saya menulis "asumsikan$p$ dan $q$ tidak memiliki faktor yang sama, "itu sudah agak ambigu karena mereka pasti memiliki faktor yang sama $1$, tetapi asumsi "relatif prima" yang lebih formal tampaknya baik-baik saja.
Jawaban
Jika kita mengganti "$p,q$ relatif prima "dengan"$\frac pq$ dalam 'istilah terendah' "apakah itu akan mengubah cara Anda memikirkannya?
Jika $q > 1$ kemudian $\frac 0q = \frac 01$ begitu $\frac 0q$ tidak dalam istilah yang terendah.
Jika kita menggunakan notasi $\gcd$ dan "relatif prima" meskipun argumennya sama.
Sebagai $0\cdot q = 0$ kami memiliki $q$ adalah pembagi dari $0$ sehingga $\gcd(0, q) = q$ dan jika $q > 1$ kemudian $\gcd(0,q) = q$ dan oleh karena itu
Jika $q>1$ kemudian $0$ dan $q$ relatif tidak prima.
Tapi $\gcd(0,1) = 1$ begitu
$0$ dan $1$ relatif prima.
Dan kita bisa melanjutkan.
====
Tetapi dalam analisis Anda, Anda menjadi bingung dan membuat konvolusi.
Kamu bilang:
Tetapi 0⋅0 = 0 dan 0⋅q = 0, jadi baik p dan q memiliki faktor persekutuan 0.
Tidak terlalu. kita punya$0\cdot q =0$. Anda tidak punya$0\cdot something = q$. Begitu$0$adalah TIDAK faktor$q$. Begitu$0$bukan merupakan faktor apa pun kecuali faktor itu sendiri.
Apa yang Anda lakukan dan seharusnya mengatakan ini karena$0\cdot q = 0$ dan $1\cdot q = q$ itu dia $q$ (dan tidak $0$) yang merupakan faktor umum dari $0$ dan $q$.
Sebenarnya setiap hal adalah faktor$0$ begitu $\gcd(0,anything) = |anything|$. (Ingatlah$\gcd(a,b) = \gcd(a,-b) = \gcd(-a, b)=\gcd(-a, -b)$ karena jika ada yang membagi keduanya $a$ dan $b$ itu juga membagi $-a$ dan $-b$.)
Dan $0$ dan $q$ adalah sarana yang relatif prima $\gcd(0, q) = 1$. Tapi$\gcd(0, q) = |q|$ jadi untuk dimiliki $0$ dan $q$ relatif prima yang harus kita miliki $q = \pm 1$.
....
oh, harus saya tunjukkan, sebagaimana Prasun Bis benar saya, itu ketika kita definisikan $\gcd(a,b)$dan pembagi umum "terbesar", kebanyakan teks tidak selalu berarti "terbesar" dalam besaran, tetapi "terbesar" dalam hal dapat dibagi. Kami mendefinisikan$a\preceq b$ untuk berarti itu $a$ membagi $b$dan itu adalah urutan parsial (bukan total, tidak ada dua elemen yang dibandingkan). Menggunakan urutan ini, pembagi persekutuan "terbesar" adalah pembagi persekutuan yang membagi semua pembagi persekutuan lainnya.
Sebagian besar definisinya sama seperti jika $a,b$ keduanya positif $a\preceq b \implies a \le b$. Dan jika$a,b$ adalah bilangan bulat positif pembagi persekutuan terbesar besarnya dan pembagi persekutuan terbesar dalam jarak dapat dibagi adalah sama.
Tetapi dalam hal ini karena semuanya terbagi $0$, kami selalu punya $q\preceq 0$ dan $\max_{\preceq} \mathbb Z = 0$ dan $0$lebih besar dalam pembagian dari semua bilangan bulat. Jadi meskipun semuanya$q$ adalah pembagi umum dari $0$ dan $0$, $\gcd(0,0) = 0$.