Bisakah kita menyimpulkan bahwa berurutan $a_n$ seperti yang $ |a_1| \lt |a_2 -a_1| \lt |a_3 -a_2| \lt |a_4 - a_3| \dots$, dan $a_1 \neq 0$ meningkat?

Aug 15 2020

Kami memiliki urutan yang tak terbatas $$ a_1, a_2 , a_3 \cdots $$ Dan memang diberikan itu $$ |a_1| \lt |a_2 -a_1| \lt |a_3 -a_2| \lt |a_4 - a_3| \cdots \\ a_1 \neq 0 $$ (yaitu perbedaan antara suku-suku berikutnya meningkat dan suku pertama tidak boleh nol)

Bisakah kita menyimpulkan bahwa nilai absolut suku-suku berikutnya meningkat? Itulah yang bisa kita simpulkan$$ |a_1| \lt |a_2| \lt |a_3| \lt |a_4| \cdots $$ Bermain-main dengan pertidaksamaan yang diberikan dalam pertanyaan dapat memberi kita informasi bahwa suku alternatif meningkat (dalam nilai absolut / numerik, meninggalkan $a_1$ selain itu, tidak membandingkan $a_1$dengan istilah apa pun tetapi hanya peduli bahwa itu bukan nol) tetapi bukan istilah yang berurutan. Jadi, saya pikir kita tidak bisa menyimpulkan bahwa suku berurutan meningkat secara numerik.

Jawaban penjelas dicari.

Jawaban

2 Chrystomath Aug 15 2020 at 13:47

Pertimbangkan urutannya $b_n:=c_n(1-\tfrac{1}{n})$ dimana $c_n\in\{+1,-1\}$, dan urutannya $a_n:=\sum_{i=1}^nb_i$.

Kemudian $|a_{n+1}-a_n|=|b_{n+1}|=1-\tfrac{1}{n+1}$ meningkat, namun karena pilihan acak dari $c_i$ tidak ada yang tahu apakah $a_n$meningkat atau menurun. Berikut adalah contoh yang dihasilkan oleh pilihan acak$c_n$.

4 BrianM.Scott Aug 15 2020 at 13:43

Satu counterexample sudah cukup, dan Anda dapat menghasilkan satu hanya dengan tiga suku. Jika Anda ingin melangkah lebih jauh dan menunjukkan bahwa bahkan tidak perlu ada titik di mana istilah tersebut meningkat dalam nilai absolut, Anda harus bekerja sedikit lebih keras, tetapi tidak banyak. Misalnya, biarkan$a_1=1$, dan secara umum biarkan

$$a_{n+1}=\begin{cases} a_n-n,&\text{if }n\text{ is odd}\\ a_n+n,&\text{if }n\text{ is even,} \end{cases}$$

sehingga Anda mendapatkan urutannya $1,0,2,-1,3,\ldots\;$; tidak sulit untuk menunjukkan dengan induksi bahwa dalam kasus itu$a_{2n-1}=n$ dan $a_{2n}=1-n$ untuk semua $n\in\Bbb Z^+$. Ternyata$|a_{n+1}-a_n|=n$ untuk $n\in\Bbb Z^+$, tapi $|a_{2n}|=n-1<n=|a_{2n-1}|$ untuk $n\in\Bbb Z^+$.