Bisakah setiap monoid bebas pembatalan pembatalan disematkan dalam grup?

Question

Monoid bebas dibalik jika$xy=1$ menyiratkan $x=y=1$ untuk semua $x,y$.

Pertanyaan: Bisakah setiap monoid bebas pembatalan pembatalan disematkan dalam grup?

Saya cukup yakin bahwa hasil bagi produk gratis dari monoid semacam itu dengan cerminnya (ini adalah monoid dengan elemen dan identitas yang sama tetapi perkalian terbalik, yaitu $x\cdot y=yx$) adalah grup "paling umum" yang dapat menyematkannya.

Ini adalah versi non-komutatif dari konstruksi bilangan bulat dari bilangan asli.

Apakah ini muncul di manapun dalam literatur sebagai masalah / proposisi / teorema?

Answer 1

Tidak, itu tidak benar bahkan untuk monoid yang dihasilkan secara halus. Ambil semigroup apa saja$S$yang bersifat cancellatif dan tidak dimasukkan ke dalam grup (contoh pertama dibuat oleh Malcev). Pertimbangkan monoid$S^1$ yang mana $S\sqcup\{1\}$ dengan $1$ a (baru jika $S$adalah elemen monoid) netral. Kemudian$S^1$adalah monoid bebas yang tidak dapat dibalik yang tidak dimasukkan ke dalam grup. Ini bersifat kanker jikaf$S$ tidak memiliki unsur netral.