Bolzano-Weierstrass dan nol dari fungsi analitik kompleks
Saya sedang mengerjakan latihan buku teks. Pertanyaan serupa: Fungsi analitik di wilayah kompak memiliki banyak nol , tetapi tidak begitu jelas bagi saya dan saya juga memiliki pendekatan lain? Saya ingin membuktikan pada dasarnya pertanyaan yang sama, bahwa jika$f$ bersifat analitik di dalam dan pada kontur tertutup sederhana $C$ (kecuali mungkin untuk tiang di dalam $C$), dan jika semua nol $f$ ada di dalam $C$ dan dengan urutan terbatas, maka angka nol pasti banyak.
Semoga usaha saya di bawah ini dapat diverifikasi atau diperbaiki.
Upaya saya:
Misalkan sebaliknya. Kemudian oleh Bolzano-Weierstrass, set tersebut$S$ dari semua nol $f$ (yang tak terbatas) berisi titik akumulasi di dalamnya $C$. Anggap saja begitu$z_0$. Ini$z_0$ juga merupakan nol $f$ karena itu adalah batas urutan nol $S$ dan $f$bersifat analitik (karena itu juga berkelanjutan). Dengan asumsi, ini adalah nol dari urutan terbatas, katakanlah$m$.
Saya mengklaim itu di lingkungan mana pun $N$ dari $z_0$, $f$tidak bisa sama dengan nol. Untuk melihat ini, tulislah$f(z)=(z-z_0)^mg(z)$ dimana $g$ bukan nol dan analitik pada $z_0$. Karenanya dengan sifat-sifat ini$g$, ada lingkungan sekitar $z_0$ (berpotongan dengan $N$) di mana $g$bukan nol. Namun, lingkungan ini berisi nol lain (berbeda), katakanlah$z'$, dari $f$menurut definisi titik akumulasi. Karenanya,$0=f(z')=(z'-z_0)^mg(z')$, menyiratkan itu $g$ bisa menjadi nol di lingkungan ini, sebuah kontradiksi.
Sekarang dengan teorema di buku teks, sejak $f$ bersifat analitik dan nol pada $z_0$, tetapi tidak identik nol di lingkungan mana pun dari $z_0$, harus ada lingkungan yang dihapus dari $z_0$ dimana $f$identik bukan nol . Tapi sekali lagi, di lingkungan yang dihapus ini mengandung nol$f$, katakanlah $z''$, menurut definisi titik akumulasi, bertentangan $f$menjadi identik bukan nol di sana. QED.
Jadi pertanyaan saya adalah:
Apakah yang di atas valid? Jika tidak, bagian mana yang harus diperbaiki?
Apakah ada pendekatan lain?
Biasanya Q2 lebih menarik, tapi saya sangat menghargai jika Q1 dijawab juga. Terima kasih banyak!
EDIT: Sekarang saya memikirkannya setelah beberapa masukan komentar:
Paragraf pertama saya seharusnya baik-baik saja.
- Adapun paragraf kedua saya sampai kesimpulan, saya harus melakukannya seperti ini:
Sebagai $z_0$ sudah teratur $m$, kita bisa menulis $f(z) = (z-z_0)^m g(z)$ dimana $g$ bersifat analitik dan bukan nol pada $z_0$. Dengan kontinuitas$g$ dan bukan nol $z_0$, ada lingkungan di $z_0$ dimana $g$identik bukan nol. Menghapus$z_0$ sana, $f$kemudian menjadi nol di lingkungan yang dihapus itu. Namun, ini bertentangan dengan fakta itu$z_0$adalah titik akumulasi nol. Selesai?
ATAU
- Metode lain, saya juga bisa mengatakan: Salah satu $f$ tidak identik nol di lingkungan mana pun $N$ dari $z_0$ , atau $f$ identik dengan nol di beberapa lingkungan $N$ dari $z_0$. Untuk yang pertama, paragraf ketiga asli saya mengikuti untuk menyimpulkan. Untuk yang terakhir, dengan teorema identitas$f$ harus identik dengan nol di dalam $C$. Secara analitik, turunannya dari semua urutan adalah nol, menunjukkan urutan tak hingga. Selesai?
Jawaban
Saya mengusulkan yang berikut: mari kita buktikan bahwa jika fungsi $f$ bersifat analitik di wilayah tersebut $R$ terdiri dari semua titik di dalam dan pada kontur tertutup sederhana $C$, kecuali mungkin untuk tiang di dalamnya $C$, dan jika semua angka nol $f$ di $R$ adalah interior untuk $C$dan berurutan terbatas, maka angka nol tersebut harus jumlahnya terbatas. Saya pikir kita harus menambahkan syarat itu$\;f\;$ tidak identik sama dengan nol dalam subset terhubung, terbuka non-sepele dari $\;R\;$. Ini dari sebuah buku (saya sudah menemukan makalah tentang ini dari tahun 1981 ...) yang masih tidak dapat saya temukan dan sepertinya itu sesuatu yang sangat dekat dengan apa yang sebenarnya Anda inginkan. Perhatikan kondisi di atas untuk fungsi tersebut$\;f\;$ sebenarnya mengatakan fungsi itu meromorfik pada domain yang dilingkupi oleh $\;C\;$ .
Bukti: Misalkan ada angka nol yang tak terhingga$\;\{z_1,z_2,...\}\;$ dari $\;f\;$ dalam $\;C\;$. Kemudian oleh Bolzano-Weierstrass, di sana ada$\;z_0\;$ di $\;R\;$ st $\;\lim\limits_{n\to\infty}z_n=z_0\;$. Dengan kontinuitas$\;f\;$ , kami mengerti $\;f(z_0)=0\;$ juga.
Karena kami mengasumsikan semua angka nol $\;f\;$ di $\;R\;$beraturan dan terisolasi , ada$\;m\in\Bbb N\;$ st $\;f(z)=(z-z_0)^mg(z)\;$ , di beberapa lingkungan terbuka $\;U\;$ dari $\;z_0\;$ dan untuk beberapa fungsi meromorfik $\;g\;$ st $\;g(z)\neq0\;\;\forall\,z\in U\;$. Karena kemungkinan kutub$\;f\;$ dalam $\;C\;$ terisolasi, kita dapat mengambil lingkungan $\;V\;$ dari $\;z_0\;$ dimana tidak ada kutub $\;f\;$ dalam $\;V\;$ , dan ambil relasi di atas $\;f(z)=(z-z_0)^mg(z)\;$ di $\;U':=U\cap V\;$, dan kali ini $\;g\;$bukan nol dan analitik dalam$\;U'\;$ .
Jadi kita hampir melewati, sejak itu dengan teorema identitas fungsi analitik kita akan mendapatkannya $\;f\;$ akan identik nol di beberapa lingkungan yang terhubung dari $\;z_0\;$ , karena titik ini merupakan titik akumulasi dari suatu himpunan dimana $\;f\;$ dan fungsi nol bertepatan, dan ini bertentangan dengan kondisi lebih lanjut yang ditambahkan di atas.