Bukti Atiyah tentang ruang modulus koneksi YM SD yang tidak dapat direduksi

Question

Dalam makalah "Dualitas Diri dalam Geometri Riemannian Empat Dimensi" (1978), Atiyah, Hitchin dan Singer menyajikan bukti bahwa ruang koneksi Yang-Mills yang dapat direduksi sendiri adalah berjenis Hausdorff, dan jika tidak kosong set, maka dimensi diberikan oleh $$p_1(\text{Ad}(P))-\frac{1}{2}\dim G(\chi(M)-\tau(M))$$ Dimana $\chi(M)$ adalah karakteristik Euler dan $\tau(M)$ tanda tangannya.

EDIT: Ternyata di kertas asli ada yang error / salah ketik. Seharusnya memang begitu$$2p_1(\text{Ad}(P))-\frac{1}{2}\dim G(\chi(M)-\tau(M))$$ Akhir pengeditan.

Meskipun saya ingin sekali dapat memahami makalah lengkapnya, saya belum dalam posisi untuk dapat melakukannya, saya hanya mencoba memahami penghitungan dimensi ini, karena saya tertarik dengan beberapa aplikasi Atiyah- Teorema indeks penyanyi.
Untuk menghitung dimensi ini, berikut digunakan dalam makalah: Mari$D:\Gamma(V_-\otimes E)\to\Gamma(V_+\otimes E)$ menjadi operator Dirac untuk bundel spinor dengan nilai-nilai dalam beberapa bundel tambahan $E$. Dengan teorema indeks,$$\text{ind}(D)=\int_M\text{ch}(E)\widehat{A}(M)$$ Dalam dimensi empat, kita punya $\widehat{A}(M)=1-\frac{1}{24}p_1(M)$(tapi di mana ini digunakan?). Buktinya, kami ambil$E=V_-\otimes\text{Ad}(P)$. Kemudian$\text{ch}(E)=\text{ch}(\text{Ad}(P))\text{ch}(V_-)$. Sejauh ini bagus. Saya kehilangan jejak dalam perhitungan berikut:$$\text{ind}(D)=\int_M\text{ch}(\text{Ad}(P))\text{ch}(V_-)\widehat{A}(M)\\ \color{red}{=p_1(\text{Ad}(P))+\dim G(\text{ind}(D'))}=\\ p_1(\text{Ad}(P))-\frac{1}{2}\dim G(\chi-\tau)$$ Dimana $D':\Gamma(V_+\otimes V_-)\to\Gamma(V_-\otimes V_-)$. Saya telah mencoba untuk menemukan hasil yang menjelaskan bagian berwarna merah dari persamaan, karena langkah ini tampaknya sama sekali tidak sepele, dan meskipun demikian, tidak dielaborasi sama sekali di dalam makalah, dan saya tidak dapat melakukannya. temukan sumber yang menjelaskan langkah ini. Dalam indeks operator Dirac dan karakter Chern dari bundel produk simetris , jawaban yang diterima tampaknya memberikan jawaban yang menjelaskan bagaimana hasil ini diperoleh, dalam kasus yang sangat khusus. Namun, saya tidak terlalu berpengalaman di bidang ini dan saya tidak tahu bagaimana menggeneralisasikan hasilnya ke prinsip yang sewenang-wenang$G$-bundel. Saya mencari penjelasan di atas, apakah seseorang mampu memberikan tanggapan sendiri atau referensi. Salah satu dari mereka akan sangat dihargai.

Answer 1

Semoga saya mengingat ini dengan baik. Penasihat saya menjelaskan perhitungan ini kepada saya, saya bahkan tidak ingin memikirkan berapa tahun yang lalu.

Kompleks deformasi persamaan SD adalah $\DeclareMathOperator{\Ad}{Ad}$

$$L=d_A^-\oplus d_A^*:\Omega^1\big(\, \Ad(P)\,\big)\to\Omega^2_-\big(\; \Ad(P)\;\big)\oplus \Omega^0\big(\;\Ad(P)\;\big). $$

Dimensi ruang modulus koneksi rangkap adalah indeks dari operator ini. $\DeclareMathOperator{\ind}{ind}$ $\DeclareMathOperator{\ch}{ch}$ $\DeclareMathOperator{\hA}{\widehat{A}}$Operator ini diperoleh dengan memutar dengan $\Ad(P)$ operator

$$ D=d^-+d^*:\Omega^1(M)\to \Omega^2_-(M)\oplus \Omega^0(M) $$

Ini adalah operatornya $D: \Gamma(V_+\oplus V_-)\to \Gamma(V_-\oplus V_-)$ di makalah yang Anda sebutkan.

Teori indeks Atiyah-Singer menunjukkan hal itu $\ind L$ aku s

$$\ind L= \int_M \big[\; \ch(\Ad(P)) \hA(X)\ch(V_-)\;\big]_4, $$

dimana $[--]_4$ menunjukkan derajat $4$ bagian dari bentuk diferensial non-homogen.

Kami menyimpulkan

$$\ch(\Ad(P))=\dim G +\ch_2(\Ad(P))+\cdots = \dim G+p_1(\Ad(P))+\cdots, $$

$$\ind L= \int_M \big(\; p_1(\Ad(P))+(\dim G)\rho_D\;\big) $$

dimana derajatnya $4$ dari $\rho_D= [\hA(X)\ch(V_-)]_4$ adalah kepadatan indeks $D$ muncul dalam teorema indeks Atiyah-Singer $$ \ind D=\int_M \rho_D. $$

Jadi

$$ \ind L=\int_M p_1(\Ad(P))+\dim G\ind D= \int_M p_1(\Ad(P))+\dim G(b_1 -b_2^--b_0). $$

Sekarang ekspresikan $(b_1-b_2^--b_0)$ dalam hal tanda tangan $\tau=b_2^+-b_2^-$ dan karakteristik Euler $\chi=2b_0-2b_1+b_2^++b_2^-$.