Bukti dari $\mathfrak{S}_F \times_{\mathfrak{S}_H} \mathfrak{S}_G \cong \mathfrak{S}_{F \times_H G}$, kategori berserat dalam set

Question

Lemma 3.34: Untuk$F,G,H$ presheaves dalam kategori / set diskrit: $$\mathfrak{S}_F \times_{\mathfrak{S}_H} \mathfrak{S}_G \cong \mathfrak{S}_{F \times_H G}$$

Bukti: Satu-satunya 2-morfisme kategori yang berserat dalam set adalah identitas. (Ref:http://wwwf.imperial.ac.uk/~dg3215/other/stacks.pdf )

Pertanyaan: Saya tidak begitu yakin dengan bukti di mana mereka menggunakan 2-morfisme kategori berserat dalam set adalah identitas dalam membuktikan lemma.

Percobaan: Kami ingin menunjukkan kesetaraan kategori di antara $\mathfrak{S}_{F \times_H G}$ dan $\mathfrak{S}_F \times_{\mathfrak{S}_H} \mathfrak{S}_G$. Itu cukup untuk memverifikasi fiberwise itu$\mathfrak{S}_{F \times_H G}(S) \cong \mathfrak{S}_F(S) \times_{\mathfrak{S}_H(S)} \mathfrak{S}_G(S)$ untuk semua $S \in \mathfrak{S}$. Oleh lemma$3.9$, $\mathfrak{S}_{F}$ adalah kategori berserat $\mathfrak{S}$, maka kita bisa menggunakan lemma $3.31$ yang berlaku untuk kategori berserat dan dapatkan $\mathfrak{S}_{F \times_H G}(S) \cong \mathfrak{S}_F(S) \times_{\mathfrak{S}_H(S)} \mathfrak{S}_G(S)$ untuk semua $S \in \mathfrak{S}$. Kami mendapatkan 1-morphism, isomorphism$\alpha: \mathfrak{S}_{F \times_H G} \cong \mathfrak{S}_F \times_{\mathfrak{S}_H} \mathfrak{S}_G$, dan kami menunjukkan kebalikannya sebagai $\alpha^{-1}$. Ini adalah kesetaraan sejak 2-morfisme$(\alpha^{-1} \circ \alpha) \Rightarrow Id_{\mathfrak{S}_{F \times_H G}}$adalah identitas, karenanya 2-isomorfisme. Demikian pula,$(\alpha \circ \alpha^{-1}) \Rightarrow Id_{\mathfrak{S}_F \times_{\mathfrak{S}_H} \mathfrak{S}_G}$ adalah 2-isomorfisme.

Perolehan / Ringkasan (Contoh 3.8 p17):

2 kategori $\mathfrak{S}_F$:

Membiarkan $F : \mathfrak{S}^{opp} \to Categories$menjadi functor (yaitu presheaf kategori). Terkait dengan$F$ kategori berserat berikut $\mathfrak{S}_F$ lebih $\mathfrak{S}$: Objek berpasangan $(U,x)$ benda $U$ di $\mathfrak{S}$ dan $x \in F(U)$. Morfisme dari$(U, x)$ untuk $(V, y)$ adalah pasangan $(f, \varphi)$ morfisme $f : U \to V$ dan $\varphi : x \to f^* y$, tempat kami menulis $f^∗ := F(f)$. Komposisi$(g, \psi : y \to g^∗z) \circ (f, \varphi : x \to f^∗y)$ didefinisikan sebagai $(g \circ f, f^∗(\psi) \circ \varphi)$. Proyeksi ke$\mathfrak{S}$ lupa komponen kedua dari pasangan.

Answer 1

Tampaknya ada dua hal yang membingungkan dalam pertanyaan tersebut.

Butir 1: Mengapa hanya 2-morfisme kategori berserat dalam kumpulan identitas?

Nah, apa itu 2-morfisme kategori berserat?

Membiarkan $A$ menjadi kategori dasar, $P:B\to A$, $Q:C\to A$ kategori berserat (over $A$), $F,G:P\to Q$ 1-morfisme kategori berserat (yaitu, berfungsi sedemikian rupa $QF=QG=P$). Kemudian 2-morfisme$\alpha:F\to G$ adalah transformasi alami dari $F$ untuk $G$ dengan properti itu $Q(\alpha_b)=1_{Pb}$ untuk semua $b\in B$ (yaitu, $\alpha_b$ terletak pada Q-fiber over $Pb$ untuk semua $b \in B$).

Dalam hal itu $Q$ berserat dalam set, sejak $\alpha_b$ selalu di $Q$-fiber berakhir $Pb$ (yang diskrit / satu set), kami punya itu $\alpha_b$adalah morfisme identitas. Sejak$\alpha_b:Fb\to Gb$ adalah morfisme identitas, kami menyimpulkan itu $Fb=Gb$ untuk semua $b\in B$, dan untuk semua $f:b\to b'$, kekuatan kotak naturality $Ff=Gf$, jadi $F=G$, dan $\alpha=1_F=1_G$.

Dengan kata lain, jika $Q$ memiliki serat diskrit, kemudian kategori hom $\mathbf{Fib/A}(P,Q)$ juga terpisah.

Butir 1.5: Implikasi Butir 1 untuk produk 2 serat vs produk 1 serat

Klaim: jika $R:D\to A$ adalah kategori berserat dengan serat diskrit, dan $P:B\to A,Q:C\to A$ adalah kategori berserat sewenang-wenang, dan $F:P\to R$, $G:Q\to R$ adalah 1-morfisme kategori berserat, kemudian produk 1-serat $P\times_R^1 Q$ sebenarnya adalah produk 2-serat $P\times_R^2 Q$.

Ini bukti sederhana. Misalkan saya memberi Anda kotak 2 perjalanan$$ \require{AMScd} \begin{CD} T @>>> P \\ @VVV @VVV \\ Q @>>> R, \\ \end{CD} $$ lalu karena $R$memiliki serat terpisah, satu-satunya morfisme 2 yang dapat membuat bujur sangkar ini adalah identitas, jadi sebenarnya ini adalah 1 perjalanan. Dengan demikian ada morfisme yang unik$T\to P\times_R^1 Q$. Keunikan morfisme ini menjamin keunikan hingga isomorfisme, begitulah yang membuatnya$P\times_R^1 Q$ memenuhi sifat universal dari produk 2-serat $P$ dan $Q$ lebih $R$.

Atau, periksa kapan saja $R$ memiliki serat diskrit, konstruksi eksplisit dari $P\times^2_R Q$ direduksi menjadi sesuatu yang isomorfik dengan konstruksi biasa $P\times^1_R Q$.

Butir 2: Mengapa fakta ini menyiratkan hasil yang diklaim?

Saya akan menggunakan $\int U$ untuk menunjukkan kategori elemen / konstruksi Grothendieck untuk $U:A^{\text{op}}\to \mathbf{Cat}$, karena ini adalah notasi yang lebih standar menurut pengalaman saya, setidaknya untuk presheave dihargai dalam set.

Kami ingin menunjukkan $$\int U\times_{\int W} \int V\cong \int U\times_W V$$ dimana $U\overset{\phi}{\to} W \overset{\psi}{\leftarrow} V$ adalah cospan dari pra-daun kategori, dan $W$ dinilai dalam kategori terpisah.

Kita tahu bahwa produk serat di sebelah kiri dapat dianggap sebagai produk 1 serat $W$ adalah presheaf in $\mathbf{Set}$. Kemudian obyek di sebelah kiri adalah tupel$((a,u),(a,v))$ dengan $u\in U(a)$, $v\in V(a)$, seperti yang $\phi(u)=\psi(v)$, dan morfisme dari $((a,u),(a,v))$ untuk $((a',u'),(a',v'))$ di sisi kiri adalah tupel $((f:a\to a',\alpha : u\to f^*u'),(f,\beta: v\to f^*v'))$, seperti yang $\phi(\alpha)=\psi(\beta)$.

Di sisi lain, objek di sisi kanan adalah tupel $(a,(u,v))$ dengan $(u,v)\in (U\times_W V)(A)=U(A)\times_{W(A)} V(A)$, dan morfisme $(a,(u,v))\to (a',(u',v'))$ di sisi kanan berpasangan $(f:a\to a', (\alpha,\beta):(u,v)\to f^*(u',v'))$.

Membandingkan data, kita melihat bahwa kedua sisi terdiri dari data yang sama, dan kita dapat memberikan isomorfisme antara kedua kategori tersebut.

Catatan akhir

Kapan $U$ dan $V$ juga presheave dihargai dalam set, ini menjadi lebih sederhana, karena morfisme di sebelah kiri sekarang adil $f:a\to a'$ seperti yang $u=f^*u'$, $v=f^*v'$, dan morfisme di sebelah kanan juga $f:a\to a'$ seperti yang $(u,v)=f^*(u',v')$.