Bukti kalkulus tensor dari titik Torricelli?
Dalam video kuliah tentang kalkulus tensor, sekitar 2:36 ia mengambil gradien dari "fungsi panjang" geometris yang bertambah ke arah luar dalam arah panjang. Tapi saya tidak mengerti arah kemiringan seharusnya? apakah titik yang berbeda memiliki gradien yang berbeda? Dan apa sebenarnya teknis untuk mendefinisikan fungsi dari tiga poin?
Saya berpikir untuk membangun mencoba menggambarkan apa yang dia lakukan menggunakan koordinat sebagai berikut:
Ambil tiga poin $ A_1,A_2,A_3$
Sekarang, dari tiga titik tetap ini kita ambil satu titik di segitiga $ (x,y)$
Membiarkan $d(A_i(x,y))$ jadilah jarak titik kita dari simpul A Tujuan kita adalah meminimalkan:
$$ D(x,y) = \sum_{k=1}^{3} d(A_i (x,y) )$$
Seharusnya kita mengambil gradien kedua sisi dan mengatur kiri ke nol, kita dapatkan,
$$ 0 = \nabla \sum_{k=1}^{3} d(A_i (x,y)) $$
atau,
$$ 0 = \sum_{k=1}^{3} \nabla d(A_i (x,y) ) $$
Dan titik di mana tiga vektor satuan $ d(A_i (x,y))$pergi ke nol adalah titik Torricelli kami, Tapi saya tidak begitu mengerti bagaimana dia mendefinisikan fungsi berdasarkan jarak dari simpul. Apa sebenarnya teknis dari ini?
Selanjutnya, saya tidak dapat menemukan bukti serupa secara online, bukankah ini bukti yang terdokumentasi dengan baik?
Sunting: Pada pemikiran lebih lanjut, dapatkah saya menggunakan metode serupa untuk menemukan 'titik Torricelli' dari bentuk yang lebih rumit? sepertinya itu mudah dilakukan dengan prinsip yang sama.
Sebagai contoh, mencari 'titik toricelli' dari segi lima tereduksi menjadi masalah mencari cara untuk menyusun 5 vektor satuan sehingga jumlahnya nol seperti yang ditunjukkan di bawah ini. Lebih lanjut, bagaimana orang biasanya menemukan pengaturan seperti itu yang menambah nol?
Jawaban
Ada banyak pertanyaan. Mari kita coba membuat daftar.
- "apakah titik yang berbeda memiliki gradien yang berbeda?"
Ya mereka melakukanya. Gradien suatu fungsi adalah bidang vektor, artinya vektor bervariasi dari satu titik ke titik lainnya.
- "Tapi aku tidak mengerti arah kemiringan itu?"
"Saya tidak begitu mengerti bagaimana dia mendefinisikan fungsi berdasarkan jarak dari puncak. Apa sebenarnya teknis dari ini?"
Secara geometris kami memiliki 2 properti gradien:
a) Titik gradien ke arah peningkatan fungsi tercepat.
Untuk fungsi "jarak ke O" arah peningkatan tercepat pada beberapa P (sesuai jawaban untuk bagian 1, ini akan bervariasi karena P bervariasi) adalah arah pergerakan sepanjang sinar OP, "keluar dari O". Sekali lagi, arah ini bervariasi karena kami memvariasikan P.
b) Ukuran gradien adalah perubahan fungsi per langkah dalam arah gradien (dalam batas langkah yang sangat kecil).
Untuk "jarak dari O", artinya kita harus menghitung seberapa besar "jarak dari O" berubah saat kita mengambil langkah ukuran $\Delta$sepanjang sinar OP. Jawabannya adalah$\Delta$. Rasio peningkatan fungsi dengan ukuran langkah adalah 1. Oleh karena itu vektor gradien memiliki panjang 1 (untuk P apapun).
Atau, Anda bisa menulis $f(P)=|OP|$dan ambil gradien. Mari kita asumsikan O adalah titik dengan koordinat (tetap)$(x_0, y_0)$ dan $P$ memiliki koordinat variabel $(x, y)$.
Untuk menghitung gradien $f(P)=f(x,y)=|OP|=\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}$ kami menggunakan fakta bahwa jarak kuadrat adalah fungsi yang lebih bagus daripada jarak (keberadaan $f^2(P)=(x-x_0)^2+(y-y_0)^2)$, karenanya polinomial kuadrat). Jadi, kami menggunakan aturan rantai,$\nabla_P f^2(P)=2 f(P) \nabla_P f^2(P)$; dan$\nabla_P f^2(P)=(2(x-x_0), 2(y-y_0))=2 OP$. Bersama-sama ini memberi$\nabla_P f(P)=\frac{OP}{|OP|}$, alias vektor satuan yang menunjukkan sepanjang sinar OP, sama seperti yang kita dapatkan dari penalaran geometris di atas.
- "Bisakah saya menggunakan metode serupa untuk menemukan 'titik Torricelli' dari bentuk yang lebih rumit?"
Nah, bagian di mana 'titik Torricelli' adalah bagian di mana vektor satuan dari titik ke simpul berjumlah nol adalah benar-benar sama, dan untuk alasan yang sama. Masalahnya adalah bahwa untuk 3 vektor, satu-satunya cara ini bisa benar adalah bahwa semua memiliki sudut 120 di antara pasangan vektor mana pun - sehingga titik Torricelli harus memiliki properti "120 derajat" ini. Untuk jumlah vektor yang lebih tinggi, ada banyak kemungkinan konfigurasi vektor satuan yang berjumlah nol. Jadi kondisi "vektor berjumlah nol" jauh lebih longgar. Ini harus digabungkan dengan cara yang tidak sepele dengan syarat bahwa vektor-vektor ini menunjuk dari P ke simpul poligon kita. Tidak segera jelas bagi saya bagaimana seseorang akan melakukan ini.
- "Sebagai contoh, menemukan 'titik toricelli' dari segi lima mengurangi masalah mencari cara untuk menyusun 5 vektor satuan sehingga jumlahnya nol seperti yang ditunjukkan di bawah ini. Lebih lanjut, bagaimana orang biasanya menemukan pengaturan seperti itu ke nol? "
Tepat. Untuk 5 vektor Anda dapat dengan mudah menghasilkan banyak pengaturan seperti itu: menjumlahkan 2 vektor satuan, seseorang bisa mendapatkan vektor dalam arah sembarang dengan ukuran berapa pun antara 0 dan 2. Sekarang ambil segitiga apa pun dengan satu sisi$\vec{v}$ ukuran 1 dan dua lainnya berukuran antara 0 dan 2. Buatlah kedua sisi "lain" ini dengan menjumlahkan beberapa pasang vektor satuan, dan akhirnya menambahkan vektor satuan terakhir sama dengan $\vec{v}$. Jumlah keseluruhan dari 5 vektor kemudian jumlah dari 3 vektor yang menyusun segitiga, yaitu$\vec{0}$.
Sekarang, untuk konfigurasi acak jenis ini Anda tidak akan menemukan titik P sedemikian rupa sehingga vektor dari itu ke 5 simpul Anda membuat konfigurasi ini. Oleh karena itu, tidak jelas bagaimana menemukan "titik Torricelli" dari segi lima menggunakan metode semacam ini.