Buktikan ada polinomial menghilang di semua titik $X$ kurva aljabar
Membiarkan $X \subset \mathbb{A}^3$ menjadi kurva aljabar dan misalkan $X$ tidak mengandung garis sejajar dengan $z$- sumbu. Buktikan bahwa ada polinomial bukan nol$f(x,y)$ menghilang di semua titik $X$.
Saya pikir pertanyaan ini membutuhkan argumen dimensi dan lebih tepatnya saya berpikir untuk menerapkan hasil berikut:
Jika $X$ adalah hal yang tidak bisa direduksi $n$- Variasi quasiprojective dimensional dan $Y \subset X$ himpunan nol $m$ formulir pada $X$, lalu setiap komponen tidak kosong dari $Y$ memiliki dimensi $\geq n -m$.
Jadi, dalam kasus saya $X$ memiliki dimensi $n= 1$ karena ini adalah kurva aljabar, $m = 1$ dan $Y$ adalah himpunan dari nol $f$. Dengan cara itu, saya mendapatkan setiap komponen$Y$ memiliki dimensi $\geq 0$. Jadi sepertinya$f$ menghilang di beberapa titik $X$dan persimpangan tersebut tidak pernah kosong. Untuk membuktikan latihannya, saya harus membuktikannya$\dim Y = 1$. Saya tidak tahu bagaimana pindah dari sini dan tidak yakin tentang kebenaran alasan saya sampai saat ini.
Jawaban
Secara intuitif, cara seseorang menemukan polinomial semacam itu adalah dengan mempertimbangkan proyeksi kurva $X$ ke $xy$-penerbangan dan kemudian temukan polinomial menghilang pada gambar proyeksi ini. Ini akan menjadi polinomial masuk$x$ dan $y$ yang konstan di sepanjang serat vertikal proyeksi ini, dan karenanya akan menghilang $X$.
Untuk membuat polinomial seperti itu, pertimbangkan $I(X)$ dan ambil $f_1,\cdots,f_n$ sebagai genset dengan no $f_i \in (f_1,\cdots,f_{i-1})$. Dengan syarat itu$X$ adalah kurva masuk $\Bbb A^3$, $n$ setidaknya $2$(ini adalah satu-satunya tempat di mana dimensi itu penting). Jika salah$f_1$ atau $f_2$ hanya polinomial $x$ dan $y$, kita selesai. Jika tidak, kita bisa menggunakan resultan dari$f_1$ dan $f_2$ dengan hormat $z$ untuk menghasilkan polinomial hanya $x$ dan $y$ yang lenyap dimana-mana $f_1$ dan $f_2$ do: khususnya, polinomial seperti itu harus menghilang $X$.