Buktikan ada polinomial menghilang di semua titik $X$ kurva aljabar

Aug 19 2020

Membiarkan $X \subset \mathbb{A}^3$ menjadi kurva aljabar dan misalkan $X$ tidak mengandung garis sejajar dengan $z$- sumbu. Buktikan bahwa ada polinomial bukan nol$f(x,y)$ menghilang di semua titik $X$.

Saya pikir pertanyaan ini membutuhkan argumen dimensi dan lebih tepatnya saya berpikir untuk menerapkan hasil berikut:

Jika $X$ adalah hal yang tidak bisa direduksi $n$- Variasi quasiprojective dimensional dan $Y \subset X$ himpunan nol $m$ formulir pada $X$, lalu setiap komponen tidak kosong dari $Y$ memiliki dimensi $\geq n -m$.

Jadi, dalam kasus saya $X$ memiliki dimensi $n= 1$ karena ini adalah kurva aljabar, $m = 1$ dan $Y$ adalah himpunan dari nol $f$. Dengan cara itu, saya mendapatkan setiap komponen$Y$ memiliki dimensi $\geq 0$. Jadi sepertinya$f$ menghilang di beberapa titik $X$dan persimpangan tersebut tidak pernah kosong. Untuk membuktikan latihannya, saya harus membuktikannya$\dim Y = 1$. Saya tidak tahu bagaimana pindah dari sini dan tidak yakin tentang kebenaran alasan saya sampai saat ini.

Jawaban

1 KReiser Aug 20 2020 at 05:31

Secara intuitif, cara seseorang menemukan polinomial semacam itu adalah dengan mempertimbangkan proyeksi kurva $X$ ke $xy$-penerbangan dan kemudian temukan polinomial menghilang pada gambar proyeksi ini. Ini akan menjadi polinomial masuk$x$ dan $y$ yang konstan di sepanjang serat vertikal proyeksi ini, dan karenanya akan menghilang $X$.

Untuk membuat polinomial seperti itu, pertimbangkan $I(X)$ dan ambil $f_1,\cdots,f_n$ sebagai genset dengan no $f_i \in (f_1,\cdots,f_{i-1})$. Dengan syarat itu$X$ adalah kurva masuk $\Bbb A^3$, $n$ setidaknya $2$(ini adalah satu-satunya tempat di mana dimensi itu penting). Jika salah$f_1$ atau $f_2$ hanya polinomial $x$ dan $y$, kita selesai. Jika tidak, kita bisa menggunakan resultan dari$f_1$ dan $f_2$ dengan hormat $z$ untuk menghasilkan polinomial hanya $x$ dan $y$ yang lenyap dimana-mana $f_1$ dan $f_2$ do: khususnya, polinomial seperti itu harus menghilang $X$.