Buktikan bahwa dalam urutan himpunan bagian yang dirantai, persimpangan itu berhingga dan tidak kosong

Question

Judul hanyalah versi yang disederhanakan. Saat ini, saya membaca Analisis Pemahaman dan mengerjakan pendahuluan. Pertanyaannya adalah:

Jika $A_1 \supseteq A_2 \supseteq A_3 \supseteq A_4\cdots$ adalah himpunan bilangan real terbatas dan tidak kosong, lalu perpotongan $\bigcap_{n=1}^\infty A_n$ terbatas dan tidak kosong.

Buku pada saat ini belum secara formal didefinisikan secara terbatas. Selain itu, satu-satunya petunjuk, menurut saya, yang ditawarkan oleh buku itu adalah pertanyaan berikut,

Jika $A_1 \supseteq A_2 \supseteq A_3 \supseteq A_4\cdots$ adalah semua himpunan berisi elemen dalam jumlah tak terhingga, kemudian perpotongan $\bigcap_{n=1}^\infty A_n$ juga tidak terbatas.

Dengan pertanyaan ini dan contoh yang disebutkan di atas, saya dapat menyelesaikan masalah ini dengan menentukan himpunan $A_i = \{i,i+1,i+2\dots\}\subseteq N$ dan bukti dengan kontradiksi.

Namun, jika menyangkut $A_i$ mengandung elemen hingga, sekarang saya tidak tahu caranya

1. Buktikan dengan definisi
2. Memahami intuisi di balik tidak dapat menemukan contoh tandingan seperti versi tak terbatas

Answer 1

Salah satu caranya adalah dengan memperhatikan bahwa urutan bilangan bulat positif menurun, dalam hal ini kardinalitas dari himpunan $A_k$, pada akhirnya harus konstan. Untuk$k\in\Bbb Z^+$ membiarkan $n_k=|A_k|$, jumlah elemen dalam $A_k$; $n_k$adalah bilangan bulat positif. Membiarkan$N=\{n_k:k\in\Bbb Z^+\}$; $N$ adalah himpunan bilangan bulat positif yang tidak kosong, sehingga memiliki elemen terkecil $m$. Membiarkan$\ell\in\Bbb Z^+$ menjadi seperti itu $n_\ell=m$.

$A_{\ell+1}\subseteq A_\ell$, jadi $n_{\ell+1}\le n_\ell=m$. Tapi$m=\min N$, jadi $n_{\ell+1}\ge m$, dan oleh karena itu $n_{\ell+1}=m$. Jadi,$A_{\ell+1}\subseteq A_\ell$ dan $|A_{\ell+1}|=|A_\ell|$ , jadi $A_{\ell+1}=A_\ell$. Anda dapat menggunakan ide ini untuk membuktikan dengan induksi itu$A_k=A_\ell$ untuk setiap $k\ge\ell$. Kemudian Anda hampir selesai.$A_k\supseteq A_\ell$ untuk $k=1,\ldots,\ell$, dan $A_k=A_\ell$ untuk $k>\ell$, jadi

$$\bigcap_{k\ge 1}A_k=\bigcap_{k=1}^\ell A_k\cap\bigcap_{k>\ell}A_k=A_\ell\cap A_\ell=A_\ell\,.$$