Buktikan bahwa fungsi berikut adalah Riemann Integrable

Question

Membiarkan $f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}$ditentukan oleh \ begin {persamaan *} f (x) = \ begin {kasus} x & \ text {if} x = \ frac {1} {n} & \ text {untuk} n \ in \ mathbb {N} , \\ 0 & \ text {jika tidak} \ end {kasus} \ end {persamaan *} Buktikan$f$ adalah Riemann Integrable.

Saya tahu ini bisa dibuktikan dengan fakta bahwa fungsi ini $f$ terputus-putus hanya pada banyak titik yang terhitung $\frac{1}{n}$, jadi Riemann Integrable.

Saya ingin melihat prosedur yang melibatkan penemuan $L(P,f)$ dan $U(P,f)$ dimana $P$ apakah ada partisi yang diambil alih $[0,1]$. Saya tidak dapat membuktikan bahwa Riemann Integrable menggunakan prosedur ini. Bisakah seseorang membantu saya? Terima kasih sebelumnya.

Answer 1

Sangat mudah untuk menunjukkannya $L(P,f) = 0$ untuk partisi apa pun.

Mengambil $x_k = 1/k$, $\epsilon_n = 1/n^2$ (dimana $n$ berukuran besar) dan partisi yang mencakup subinterval

$$[0, x_n - \epsilon_n], [x_n - \epsilon_n, x_n + \epsilon_n],[x_{n-1} - \epsilon_n, x_{n-1} + \epsilon_n] \ldots , [1- \epsilon_n,1]$$ dan tunjukkan itu $U(P,f) = 1/n - 1/n^2 + (n-1) \cdot (2/n^2) + 1/n^2 \underset{n\to \infty}\to 0$.

Untuk apapun $\epsilon > 0$ kita bisa memilih $n$ seperti yang $U(P,f) - L(P,f) < \epsilon$ dan kriteria Riemann terpenuhi.