Buktikan hukum trikotomi penjumlahan dalam $\mathbb{N}$ (Aksioma Peano).

Question

Saya butuh bantuan dalam pembuktian hukum trikotomi penjumlahan saya $\mathbb{N}$(Aksioma Peano). Saya telah membuktikan bahwa penjumlahan bersifat asosiatif dan komutatif. Saya juga membuktikan hukum pembatalan dan beberapa lemma yang berguna. Sekarang saya mengalami kesulitan untuk membuktikan proposisi berikut:

Membiarkan $m,n \in \mathbb{N}$. Maka, tepat satu dari pernyataan berikut ini benar:

1. $m=n$
2. Ada angka alami $p \neq 0$ seperti yang $ m = n + p$.
3. Ada angka alami $q \neq 0 $ seperti yang $n = m + q$.

Saya mencoba

Pertama, saya membuktikan bahwa dua pernyataan ini tidak dapat terjadi pada waktu yang bersamaan.

Jika $1), 2)$ benar, kalau begitu $m=m+p$ dan dengan hukum pembatalan, $p=0$, kontradiksi. Ini analog dengan$1),3)$. Kemudian, asumsikan$2),3)$. Kemudian,$m = m + q + p$, dan oleh hukum pembatalan, $ 0 = q + p \implies q=p=0$, sebuah kontradiksi (saya membuktikan pernyataan terakhir ini sebelumnya). Maka, tidak lebih dari 1 pernyataan yang benar.

Sekarang, setidaknya saya perlu membuktikannya $1$pernyataan benar untuk menyelesaikan buktinya, tetapi saya tidak tahu bagaimana melanjutkan. Saya tahu bahwa ini adalah pertanyaan dasar / klasik tetapi saya tidak menemukan posting tentang ini di MSE. Jika postingan seperti itu ada, beri tahu saya dan maaf telah memposting ulang.

Setiap petunjuk dihargai.

Answer 1

Kami pertama-tama akan membuktikan itu untuk semua $n, m$, antara $\exists p (n + p = m)$ atau $\exists p (m + p = m)$. Kami melanjutkan dengan induksi pada$m$.

Kasus dasar $m = 0$: maka kita punya $m + n = 0 + n = n + 0 = n$.

Kasus induktif $m = S(k)$: kami membagi menjadi tiga sub-kasus berdasarkan hipotesis induktif dan fakta bahwa setiap angka adalah penerus atau nol.

Subkotak $k + p = n$ dimana $p = S(p')$: maka kita punya $n = k + S(p') = S(k + p') = S(p' + k) = p' + S(k) = p' + m = m + p'$.

Subkotak $k + p = n$ dimana $p = 0$: kemudian $k + 0 = k = n$. Kemudian$m = S(k) = S(n)$. Kemudian$m = S(n + 0) = n + S(0)$.

Subkotak $n + p = k$: kemudian $n + S(p) = S(n + p) = m$.

Jadi, kami telah membuktikannya untuk setiap $n$, $m$, antara $\exists p (n + p = m)$ atau $\exists p (m + p = n)$.

Kami sekarang ingin membuktikan itu untuk setiap $n, m$, kami memiliki setidaknya satu dari $n = m$, $\exists p (n + S(p) = m)$, dan $\exists p (m + S(p) = n)$.

Sekarang misalkan WLOG itu $\exists p (n + p = m)$. Kami membagi menjadi dua kasus. Pertama, anggap saja$p = 0$. Lalu kita punya$n = m$. Kedua, misalkan kita bisa menulis$p = S(p')$. Lalu kita punya$n + S(p') = m$. Kasus$\exists p (m + p = n)$ serupa.

Jelas, ini cukup untuk menunjukkan bahwa setidaknya satu opsi dalam trikotomi Anda berlaku.