Buktikan keliling segitiga itu $MNC$ sama dengan setengah keliling segitiga $ABC$
Di $ABC$ segitiga sama sisi. $K$ adalah titik tengah $AB$. $M$ dan $N$ berbaring $AC$ dan $BC$masing-masing. Jika$\angle MKN=60°$, lalu buktikan keliling itu $\triangle MNC$ sama dengan setengah keliling $\triangle ABC$.
Jawaban

Cermin $N$ dengan hormat $CK$, biarlah $N'$. Kami memperhatikan itu$\angle CN'N=\angle MKN=60^{\circ}$. Karena itu$MKNN'$adalah co-siklik. Karena itu$\triangle MKN$gambar cermin sehubungan dengan $CK$ berbagi lingkaran yang sama dengan $\triangle MKN$. Oleh karena itu pusatnya$\triangle MKN$lingkaran sunat terletak $CK$.
Sekarang gambar garis-garis membelah $\angle CMN, \angle CNM$ dan biarkan mereka bertemu $I$. Jelas sekali$I$ terletak pada garis-bagi ketiga $CK$. Sejak$\angle MIN=120^{\circ}$, $M,K,N,I$adalah co-siklik. Selanjutnya menggabungkan dengan hasil dari paragraf sebelumnya, kita tahu$IK$adalah diameter lingkaran itu. Karena itu$\angle IMK=\angle INK=90^{\circ}$.
Karenanya $MK$ membagi dua sudut luar $\angle AMN$ dan $NK$ membagi dua sudut luar $\angle BNM$.
Sekarang lihat gambar yang benar. Gambarlah lingkaran yang bersinggungan dengan$AM,MN,NB$ dan biarkan pusatnya $O$. Kami akan memperhatikan itu$MO$ akan membagi dua sudut $AMN$ dan $NO$ akan membagi dua sudut $BNM$ begitu $O$ dan $K$ pada dasarnya adalah titik yang sama.
Sekarang mudah untuk melihat keliling $\triangle CMN$ sama seperti $CP+CQ$, yang merupakan setengah keliling $\triangle ABC$. (Karena$AP={1\over 2} AK={1\over 4}AB$ dan begitu juga $BQ$)
Saya pikir saya telah memecahkan masalahnya guys!

Mari kita ambil poin $P$ di samping $BC$ dimana $\angle NKP=60°$. Kemudian ambil poin$T$ di garis PK dimana $PK=KT$. segitiga$BKP$ dan $ATK$kongruen. Begitu$\angle TAK=60°=\angle KBP$. Perhatikan itu$AMKT$adalah lingkaran sunat. Begitu$\angle TAK=\angle TMK$. Jadi$TMK$ adalah segitiga sama sisi.
Sekarang kita bisa yakin segitiga itu $MKN$ dan $NKP$kongruen. Begitu$MN=NK$. Dengan teorema Ptolemeus, kita memperolehnya$AM+AT=AK$. Juga, jangan lupakan itu$BP=AT$.
$CM+AM+AK=CM+2AK-AT=CM+BC-BP=CM+CP=CM+CN+NP=CM+CN+MN$.