Cara mendapatkan batas berikut: $\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{x^4y}{x^8+y^2}=?$

Aug 17 2020

Cara mendapatkan batas berikut:

$$\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{x^4y}{x^8+y^2}=?$$

Jika saya biarkan $x=r\cos \theta$ dan $y=r\sin \theta$ dimana $\theta\in (0, \pi/2)$, kemudian $$\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{x^4y}{x^8+y^2}=\frac{r^5\cos^4\theta\sin\theta}{r^8\cos^8\theta+r^2\sin^2\theta}$$

Sepertinya batasannya tidak ada.

Jawaban

3 user Aug 17 2020 at 15:54

Dalam kasus ini, seringkali strategi yang baik adalah menggunakan perubahan variabel untuk membuat eksponen sama dengan penyebut, $x^4=u$ dan $y=v$ kemudian

$$\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{x^4y}{x^8+y^2}=\lim_{(u,v)\to (0,0)}\frac{uv}{u^2+v^2}$$

dan kita dapat dengan mudah menyimpulkan misalnya dengan koordinat kutub atau mengasumsikan dua jalur berbeda sebagai $u=\pm v$.

1 KaviRamaMurthy Aug 17 2020 at 15:50

Sepanjang kurva $y=x^{4}$ batasnya adalah $\frac 1 2 $ dan bersama $y=0$ ini $0$. Oleh karena itu batasannya tidak ada.