Cincin kompak S-unital tidak terbatas

Question

Diketahui dengan baik bahwa cincin unital topologi Hausdorff yang kompak berukuran tak terbatas. Bukti menggeneralisasi ke (kiri atau kanan) cincin s-unital (yaitu cincin seperti itu untuk semua$r\in R$ kita punya $r\in Rr$ atau untuk semua $r\in R$ kita punya $r\in rR$).

Apakah ada referensi untuk fakta yang lebih umum ini? Adakah generalisasi lebih lanjut (yaitu kelas cincin yang menarik, yang mengandung cincin s-unital, yang mana Hausdorff kompak menyiratkan profinit)?

(Perhatikan bahwa ini tidak berlaku untuk semua cincin, seperti yang diberikan oleh kelompok abelian Hausdorff yang kompak $A$, kita bisa memberkahi $A$ dengan perkalian nol, menjadikannya cincin topologi Hausdorff yang kompak.)

Answer 1

Ini pada dasarnya dijawab dalam salah satu jawaban untuk Apakah setiap cincin topologi kompak adalah cincin yang tak terbatas? .

Jika cincin kompak $R$ baik tidak mengakui elemen $r\neq 0$ dengan $rR=0$atau kondisi gandaan kiri-kanan maka itu tak terbatas. Ini adalah kondisi dimana peta perkalian menginduksi dan menyematkan$R$ ke dalam endomorfisme Pontryagin ganda dari kelompok aditifnya yang Anda gunakan untuk membuktikan pemutusan total.

Lihat Thm 3 dari On Compact Topologica Rings. oleh Hirotada Anzaihttps://projecteuclid.org/euclid.pja/1195573244