Contoh dasar untuk bentuk tak tentu $1^\infty$

Question

Saya berbicara matematika dengan siswa sekolah menengah yang cerdas, yang bahkan belum pernah melihat logaritma di kelas. (Kami telah berhasil memperkenalkan log sebagai kebalikan dari eksponen.) Dia tertarik dengan video dan bentuk tak tentu ini. Kami telah membahas bagaimana "$1^\infty$"benar-benar sama dengan"$0/0$".

Sekarang saya ingin membahas contoh "$1^\infty$Sayangnya, setiap contoh yang dapat saya temukan, dan semua yang saya temukan di internet, menggunakan itu$\frac{\ln(1+t)}{t}\to 1$ sebagai $t\to 0$, yang merupakan " fakta terkenal ", atau penerapan aturan L'Hospital - keduanya menurut saya tidak memuaskan.

Apakah ada contoh non-sepele untuk "$1^\infty$"bentuk tak tentu (jadi, bukan hanya $1^t$ untuk $t\to\infty$) yang dapat dianalisis hanya dengan menggunakan definisi logaritma sebagai fungsi kebalikan dari eksponen, tanpa kalkulus atau fakta yang saya perlukan?

Answer 1

Siapa yang bisa melupakan contoh klasik:

$\underset{n\to\infty}{\lim}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n}$?

Jika kita berkembang $(1+\dfrac{1}{n})^{n}$ dengan Teorema Binomial dan membandingkan suku-suku dengan pangkat yang sesuai $1/n$ untuk nilai yang berbeda dari $n$, kami menemukan bahwa fungsi ini meningkat sebagai $n$ meningkat tanpa batas, tetapi fungsinya dibatasi oleh deret konvergen

$1+\dfrac{1}{1!}+\dfrac{1}{2!}+\dfrac{1}{3!}+...$

Jadi batasnya dijamin ada dan dengan demikian dapat didefinisikan sebagai $e$, dari mana aturannya $[\ln(1+x)]/x\to1$ sebagai $x\to 0$ mengikuti.

Answer 2

Mengapa tidak diperbaiki saja $k>0$ (misalnya $k=2$) dan lihat $(k^{1/n})^n$?

Secara intuitif cukup jelas $k^{1/n}=\sqrt[n]{k}\to 1$ sebagai $n\to\infty$; di sisi lain, jelas$n\to\infty$ kapan $n\to\infty$. Jadi, Anda memiliki kasusnya$1^\infty$ yang sebenarnya menyatu $k$ (dan tidak hanya menyatu dengan $k$tetapi konstan ), yang Anda pilih secara sewenang-wenang untuk memulai.

Sekarang ini mudah untuk dikembangkan $(k^{1/n})^{n^2}=k^n$ atau $(k^{1/{n^2}})^n=k^{1/n}$, yang menyatu dengan $0$ dan $\infty$ (dalam urutan tertentu, selama $k\ne 1$).

Answer 3

Kami mencari $f,\,g$ dengan $f\to1,\,g\to\infty$, katakan sebagai $x\to0$, maka $f^g$ dapat memiliki batasan apa saja $L\in[0,\,\infty]$atau tidak sama sekali. Contoh:

• $f=e^{x^2},\,g=x^{-2}\ln L$ untuk $L>1$
• $f=e^{-x^2},\,g=-x^{-2}\ln L$ untuk $L\in(0,\,1)$
• $f=e^{x^4},\,g=x^{-2}$ untuk $L=1$
• $f=e^{-x^2},\,g=x^{-4}$ untuk $L=0$
• $f=e^{-x^4},\,g=x^{-2}$ untuk $L=\infty$
• $f=e^{x^2\sin(1/x)},\,g=x^{-2}$ untuk $\lim_{x\to0}f^g$ menjadi tidak terdefinisi.

Penggantian $(f,\,g)\mapsto(1/f,\,-g)$ acara $1^{-\infty}$ bekerja dengan cara yang sama, tetapi tidak ada setiap orang yang mendaftar secara terpisah.