Dalam konteks DFT, Dimana Sampel Frekuensi Nyquist Milik Dalam Spektrum Frekuensi Dua Sisi (Sisi Positif / Negatif)?

Question

Jika kami memiliki jumlah titik data genap $N$, setelah DFT di MATLAB, outputnya memiliki urutan:

$$(\text{DC}, f_1, f_2, \ldots, f_{N/2-1}, f_\text{Nyq}, -f_{N/2-1}, -f_{N/2-2}, \ldots, -f_1)$$

Untuk sinyal nyata, keluaran pertama sesuai dengan $k$= 0, adalah nyata dan begitu juga frekuensi Nyquist. Setelah itu bilangan menjadi konjugasi kompleks.

Jika kita tertarik pada spektrum satu sisi, frekuensi Nyquist ditampilkan di sisi positif.

Namun, ketika spektrum frekuensi dua sisi diplot, banyak penulis meletakkan frekuensi Nyquist di sisi negatif.

Beberapa perangkat lunak seperti OriginPro, mengikuti yang sebaliknya. Apakah ada cara yang benar secara fundamental atau itu hanya konvensi, yaitu,

$$ \text { If } N \text { is even, } \quad k\quad\text { takes: }-\frac{N}{2}, \ldots,-1,0,1, \ldots, \frac{N}{2}-1 $$

Kalau tidak, $$ \text { If } N \text { is even, } \quad k \text { takes: } -\frac{N}{2}-1, \ldots,-1,0,1, \ldots, \frac{N}{2}$$

dimana $k$ adalah vektor indeks DFT, yang digunakan untuk membangun sumbu frekuensi sebagai

$$\text {Frequency axis}=k/ N\Delta t$$

dimana $\Delta t$ adalah interval pengambilan sampel.

Banyak orang mengatakan itu hanya konvensi dan keduanya benar. Terima kasih.

Answer 1

Itu konvensi, mereka setara:

$$ \exp{\left(j2 \pi \frac{N}{2}n/N \right)} = \exp{\left(j2\pi \frac{-N}{2}n/N\right)} \\ \Rightarrow e^{j\pi n} = e^{-j \pi n} \Rightarrow \cos(\pi n) = \cos(-\pi n)=(-1)^n,\ j\sin(\pi n) = j\sin(-\pi n) = 0 $$

MATLAB dan Numpy pergi $[-N/2, ..., N/2-1]$, yang tidak menguntungkan untuk representasi analitik (hanya + frekuensi). Perhatikan juga nilainya dua kali lipat dibandingkan dengan sampah lainnya (tapi tidak secara manual, mereka berkorelasi dengan cara ini), sehingga dalam arti itu baik negatif dan frekuensi positif, sehingga energi ini diawetkan:

Anda dapat mengetahui preferensi perpustakaan melalui fftshift dokumen :

Answer 2

Asumsi $x[n]$ nyata, menghasilkan $X[k]$menjadi "Hermitian simetris" ;

$$ X[N-k] = (X[k])^* $$

dan jika $N$ adalah genap, maka nilai dalam bin DFT $X[\tfrac{N}{2}]$(yang merupakan besaran nyata dengan bagian imajiner nol) harus dibagi menjadi dua bagian yang sama. Satu setengah harus ditempatkan di$k=-\tfrac{N}{2}$ dan separuh lainnya ditempatkan di $k=+\tfrac{N}{2}$.

Jawaban sebelumnya ini membahas hal ini.