Dalam mencari variasi yang akan mendeskripsikan semigroup dengan tepat direpresentasikan sebagai terjemahan yang benar.
Jika $G$ adalah kelompok, kita melihat bahwa bijection $y\mapsto y_r$, dimana $(x)a_r = xa$, fungsi yang ditulis dari kanan, adalah isomorfisma grup.
Dengan cara ini, kami memiliki interpretasi yang menarik tentang kelompok sebagai terjemahan.
Terinspirasi oleh ini, biarkan $S$menjadi magma apapun. Mari kita pertimbangkan operasi terjemahan yang benar yang sama$S$. Kita bisa bertanya, kapan peta ini$y\mapsto y_r$ sebuah homomorfisme.
Jelas, ini iff $(x)a_rb_r = (x)(ab)_r$ untuk apapun $x, a, b$, itu adalah, $(xa)b = x(ab)$.
Dengan cara ini, dari pertanyaan sederhana tentang terjemahan yang membentuk homomorfisme, kita secara alami sampai pada definisi semigroup.
Kita dapat bertanya pada diri sendiri pertanyaan lain, kapan peta ini merupakan isomorfisme? Ini adalah isomorfisme iff$y\mapsto y_r$ adalah suntik, dan itu iff $(x)a_r = (x)b_r$, itu adalah, $xa = xb$ menyiratkan $a = b$ untuk semua $x, a, b$.
Semigroup seperti itu disebut leftly weak reductive, disingkat lwr semigroups.
Namun, ada masalah serius dengan ini, semigroup lwr tidak membentuk variasi di antara struktur dengan operasi biner. Jelas, jika$S$ adalah semigroup yang bukan merupakan semigroup lwr $S^1$, dimana $S\mapsto S^1$adalah operasi menambahkan elemen identitas, adalah semigroup lwr. Tapi kemudian$S^1$ mengandung $S$ sebagai sub-kelompoknya, sehingga sub-kelompok dari semigroup lwr tidak harus menjadi semigroup lwr.
Tetapi ada kelas dari semigroup yang membentuk suatu variasi, mungkin bukan sebagai struktur dengan operasi biner, tetapi dengan penambahan elemen nullary. Itu adalah monoid kiri$(S, \cdot, e)$ dimana $\cdot$ adalah operasi biner, $e$ adalah elemen nullary, dan ada dua identitas: $x(yz)\approx (xy)z$, $ex \approx x$.
Sebagai kelas semigroup yang berasal dari operasi yang lupa $e$ yaitu $(S, \cdot, e)\mapsto (S, \cdot)$, semua monoid kiri adalah semigroup lwr.
Pertanyaan saya adalah, apakah kita dapat menemukan beberapa struktur $(S, \cdot, \mathscr{F})$ dimana $\mathscr{F}$ menunjukkan himpunan semua $n$fungsi -ary untuk $n\in\mathbb{N}_0$ Selain daripada $\cdot$ , fungsi biner, dan identitas, sehingga sekumpulan aljabar yang memenuhi identitas tersebut membentuk variasi, dan peta $(S, \cdot, \mathscr{F})\mapsto (S, \cdot)$ untuk setiap aljabar dari ragam tersebut mengubahnya menjadi semigroup lwr, dan sehingga kelas himpunan yang diperoleh dengan cara ini maksimal, atau jika tidak mungkin.
Sebagai permulaan, jika suatu varietas yang akan mencakup kelas semigroup antara monoid kiri dan semigroup lwr.
Pembaruan :
Saya dapat menemukan calon potensial untuk struktur seperti itu. Mempertimbangkan$(S, \cdot, e)$ dimana $e:S\to S$ adalah operasi unary, dengan identitas $e(x)x \approx x$ dan $e(x)e(y)e(x)y \approx y$.
Struktur seperti itu menggeneralisasi monoid sejak jika $f$ adalah identitas kiri, lalu $e(x) \equiv f$memberi kita struktur tipe di atas. Selain itu, setiap semigroup yang memenuhi relasi tersebut adalah semigroup lwr, karena$xa = xb$ menyiratkan $a = e(a)b$ dan $b = e(b)a$ maka $a = e(a)e(b)e(a)b = b$.
Namun, saya tidak memiliki contoh yang bukan monoid kiri.
Perbarui 2 :
Saya menemukan itu $e(x)x\approx x$, $e(x)e(y)e(x)y \approx y$ setara dengan $e(x)^2 y \approx y$, $e(y)e(x)y \approx e(x)y$.
Secara khusus, kami dapat memperbaikinya $x\in S$ dan ambil $ e = e(x)^2$, maka $ey = y$ untuk semua $y\in S$. Ini berarti$S$ adalah monoid kiri.
Pembaruan 3 :
Semigroup lwr kecil yang bukan monoid kiri :
Ada semigroup pesanan lwr yang unik $3$yang bukan monoid kiri. Ini diberikan oleh matriks \ begin {bmatrix} 1 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 3 \ end {bmatrix}
Menurut perhitungan saya, ada $18$ semigroup pesanan $4$ yang lwr tetapi tidak meninggalkan monoid, dengan Id $54, 67, 69, 69^t, 70, 70^t, 77^t, 88, 92, 98, 99^t, 100, 101^t, 102, 102^t, 103^t, 110^t, 112$ dalam paket GAP Smallsemi, dimana $t$ berarti tabel perkalian dialihkan (anti-isomorfisme).
Struktur baru :
Mari pertimbangkan $(S, \cdot, e)$ dimana $e$ adalah operasi biner $e:S\times S\to S$, dengan identitas $e(x, y) \approx e(y, x)$ dan $e(x, y)x\approx x$.
Anda dapat menganggap operasi biner sebagai pilihan identitas kiri lokal, yang mengikat dua elemen $x, y$ bersama dengan menuntut $e(x, y)$ menjadi identitas kiri lokal $x$ dan $y$.
Jika $S$ adalah monoid kiri dengan identitas kiri $f$, kita bisa mengambil $e(x, y) \equiv f$.
Setiap struktur seperti itu adalah semigroup lwr karena $xa = xb$ untuk semua $x$ menyiratkan $e(a, b)a = e(a, b)b$, dan itu artinya $a = b$.
Struktur seperti itu dibahas di sini dan di sini .
Pembaruan 4:
Sepertinya ada kelas lain dari semigroup yang reduktif lemah! Itu adalah semigroup yang diinduksi oleh kategori (kecil). Konstruksinya dapat ditemukan di sini dalam jawaban @ J.-E.Pin.
Jika $(S, \cdot)$ diinduksi oleh kategori $\mathcal{C}$, dan $x\cdot f = x\cdot g$ untuk semua $x\in S$ dan morfisme $f, g$ dari $\mathcal{C}$, lalu mengambil $x = 1_X$ dimana $X$ adalah domain dari $f$, $f = 1_X\cdot g$. Secara khusus,$1_X\cdot g = 1_X\circ g$ didefinisikan begitu sama dengan $g$. Jika$x\cdot f = x\cdot 0 = 0$ untuk semua $x\in S$ dan morfisme $f$ dari $\mathcal{C}$, lalu seperti sebelumnya $f = 0$. Kontradiksi.
Ini membuktikan semua semigroup yang diinduksi oleh kategori (kecil) bersifat reduktif lemah.
Jawaban
Anda dapat mendeskripsikan kelas semua lwrs dengan cara ini, menggunakan satu operasi biner ekstra dan satu terner. Menunjukkan dua operasi dengan$w(a,b)$ dan $r(a,b,c)$, pertimbangkan variasi yang ditentukan oleh asosiatif dari $\cdot$ dan identitas $$r(a,b,w(a,b)\cdot a)=a,\\ r(a,b,w(a,b)\cdot b)=b.$$ Perhatikan bahwa jika identitas itu berlaku, maka untuk apa saja $a\neq b$ kita harus punya $w(a,b)\cdot a\neq w(a,b)\cdot b$, yang menyiratkan semigroup $(S,\cdot)$ adalah lwr untuk aljabar semacam itu $(S,\cdot,w,r)$.
Sebaliknya jika semigroup $(S,\cdot)$ adalah lwr, lalu untuk apa saja $a\neq b$ ada beberapa $w(a,b)$ seperti yang $w(a,b)\cdot a\neq w(a,b)\cdot b$. Gunakan nilai-nilai itu untuk mendefinisikan$w$, pengaturan $w(a,a)$semena-mena. Sekarang kita bisa mendefinisikan$r(a,b,c)$ sedemikian rupa sehingga setara $a$ jika $c=w(a,b)\cdot a$, $b$ jika $c=w(a,b)\cdot b$ dan mengambil nilai apa pun untuk semua yang lain $c$. Kemudian$(S,\cdot,w,r)$ memenuhi identitas di atas.