Dapatkah kami menjamin bahwa ada $\epsilon' > 0$ seperti yang berlaku untuk ketidaksetaraan ini?

Question

Saya sedang mencoba membuktikan hukum batas perkalian:

membiarkan $(a_n)^{\infty}_{n=m}, (b_n)^{\infty}_{n=m}$ menjadi urutan konvergen bilangan real, dan $X, Y$ jadilah bilangan real $X = \lim_{n\to \infty}a_n$ dan $Y = \lim_{n\to \infty}b_n$. $$ \lim_{n \to \infty}a_nb_n = \left(\lim_{n\to \infty}a_n\right) \cdot \left(\lim_{n\to \infty}b_n\right) $$

Sejak keduanya $(a_n)^{\infty}_{n=m}$ dan $(b_n)^{\infty}_{n=m}$ konvergen ke X dan Y masing-masing, Kita tahu itu $|a_n - X| \leq \epsilon'$ dan $|b_n - Y| \leq \delta$.

Kami juga tahu, dengan beberapa lemma yang kami buktikan sebelumnya di buku, itu $|a - b| \leq \epsilon \land |c - d| \leq \delta \implies |ac - bd| \leq \epsilon \cdot |c| + \delta \cdot |a| + \epsilon \delta$.

Ini sempurna, karena saya bisa menggunakannya untuk menunjukkannya $|a_nb_n - XY| \leq \epsilon$ untuk beberapa arbiter $\epsilon > 0$, selama saya tunjukkan bahwa ada $\epsilon' * |Y| \leq \frac{\epsilon}{3}$ dan bahwa ada beberapa $0 < \delta < 1$ seperti yang $\delta \cdot (|X| + \epsilon') \leq \frac{2}{3}\epsilon$

Saya bisa membuktikan bagian pertama menggunakan properti Archimedean dari real, tapi saya tidak begitu yakin tentang bagian kedua. Bagian kedua terasa seperti itu harus bekerja karena kita dapat memilih yang kecil$\delta$, tapi saya tidak bisa membuktikannya. Apakah saya melakukan sesuatu yang salah? apakah mungkin untuk mengubah bukti ini sedikit agar berfungsi?

Answer 1

Jika $a_n \to a, b_n \to b$ lalu ada beberapa $M$ seperti yang $|a|,|b_n| \le M$.

Kemudian $|a_nb_n -ab| = |a_nb_n -a b_n + a b_n -ab| \le |a_n-a| |b_n| + |a| |b_n-b| \le M (|a-a_n|+ |b-b_n|)$.

Sekarang pilih $N$ cukup besar sehingga $|a-a_n|, |b-b_n| < {\epsilon \over 2 M}$.