Dasar-dasar Kebenaran, Provabilitas, dan Aksioma melalui Hipotesis Kontinum
Misalkan S adalah struktur / bahasa ZFC (termasuk PL 1). Misalkan CH merujuk pada hipotesis kontinum yang terkenal. Klaim saya adalah sebagai berikut dan dapatkah Anda mengatakan apakah itu benar atau salah dan mengapa?
Di S, CH tidak benar atau salah karena di S hanya tautologi dan kontradiksi yang sudah benar / salah dan CH tidak seperti itu.
Katakanlah saya berasumsi hanya satu aksioma di S yang mengatakan: ada himpunan kosong. Sekarang dalam skenario ini CH lagi-lagi tidak benar atau salah karena kita masih tidak bisa membicarakan kardinalitas himpunan sama sekali (jadi kita tidak bisa berbicara tentang CH).
Katakanlah saya mengasumsikan ZFC di S. Sekarang kita dapat berbicara tentang kardinalitas himpunan. Itu berarti bahwa di sini CH adalah wff dan karenanya bisa benar atau salah. Tetapi kami tidak dapat membuktikan yang mana (Gödel, Cohen). Tapi itu berarti: CH adalah benar xor salah di ZFC saat ini, kami tidak tahu dan kami tidak akan pernah tahu!
Jika kita secara brutal menganggap CH benar di ZFC (ZFC + CH), maka tidak ada inkonsistensi (dibuktikan oleh Gödel), tetapi jika kita menggunakan ZFC + ~ CH kita dapat membuktikan tidak ada inkonsistensi juga (Cohen), jadi ZFC adalah - berbicara secara bebas - terlalu umum untuk menangkap kebenaran / kepalsuan CH dengan benar, seperti jaring nelayan terkadang terlalu besar untuk menangkap ikan tertentu.
Jawaban
Ada beberapa masalah di sini, yang mungkin tidak terasa penting pada awalnya, tetapi seiring waktu akan mengaburkan gambaran (yang sudah cukup bernuansa).
Pertama-tama, Anda menggabungkan struktur , teori , dan bahasa . Dalam meningkatkan urutan kompleksitas:
Sebuah bahasa (juga disebut tanda tangan atau kosa kata ) adalah seperangkat simbol non-logis, seperti$\{\in\}$ atau $\{+,\times,0,1,<\}$.
Sebuah teori adalah seperangkat kalimat orde pertama, dan untuk bahasa$\Sigma$ Sebuah $\Sigma$-teori adalah teori yang terdiri dari kalimat-kalimat dalam bahasa $\Sigma$ - mis $\mathsf{ZFC}$ adalah $\{\in\}$-teori dan urutan pertama $\mathsf{PA}$ adalah $\{+,\times,0,1,<\}$-teori.
Sebuah struktur dalam bahasa tertentu adalah himpunan bersama dengan interpretasi berbagai simbol dalam bahasa tersebuthttps://en.wikipedia.org/wiki/Structure_(mathematical_logic)#Interpretation_function.
Apakah string simbol tertentu adalah wff atau tidak bergantung hanya pada bahasa yang terlibat, bukan pada aksioma apa yang kita pertimbangkan atau pada struktur apa (jika ada) yang secara khusus kita fokuskan.$\mathsf{CH}$ adalah wff dalam bahasa tersebut $\{\in\}$. Apa yang kosong$\{\in\}$-theory ("$S$") tidak bisa dilakukan adalah membuktikan hal-hal mendasar tentang $\mathsf{CH}$dan kalimat terkait. Begitu$S$ bisa dibicarakan $\mathsf{CH}$, tidak banyak yang bisa dikatakan. Masalah ini tersirat dalam$(1)$ dan $(2)$, dan eksplisit dalam $(3)$.
Sekarang ke poin yang lebih halus: kebenaran dan kepalsuan . Hubungan kepuasan$\models$ menghubungkan struktur dan kalimat / teori, dengan "$\mathcal{A}\models\varphi$"(resp."$\mathcal{A}\models\Gamma$") dibaca sebagai"$\varphi$ benar dalam $\mathcal{A}$"(resp." Setiap kalimat dalam $\Gamma$ benar dalam $\mathcal{A}$"). Tapi kami menggunakan istilah" benar " hanya dalam konteks ini; ketika berbicara tentang teori, istilah yang relevan dapat dibuktikan .
Alasan utama untuk mencadangkan istilah seperti "benar" dan "salah" untuk struktur yang bertentangan dengan teori adalah bahwa sifat standar kebenaran seperti bivalensi hanya memegang kebenaran dalam struktur, bukan pembuktian-dalam-teori. Dengan memisahkan istilah, kami membuatnya lebih mudah untuk tepat dan menghindari kesalahan kecil. Ini adalah masalah yang Anda maksud$(3)$, di mana kebenaran dan pembuktian bercampur aduk. Secara khusus, pernyataan itu
CH benar atau salah di ZFC saat ini, kami tidak tahu dan kami tidak akan pernah tahu
tidak mengurai.
Oke, sayangnya Anda akan menemukan orang mengatakan bahwa segala sesuatunya benar / salah$\mathsf{ZFC}$. Hubungannya adalah bahwa kalimat dapat dibuktikan dalam teori$T$ https://en.wikipedia.org/wiki/G%C3%B6del%27s_completeness_theorem itu benar di semua model $T$, jadi ini tidak sepenuhnya tidak adil. Tetapi ini adalah penyalahgunaan terminologi, dan harus dihindari sampai dasar-dasar topik dikuasai.
Setelah bergeser dari kebenaran ke pembuktian, poin $(4)$kemudian benar dengan satu hipotesis tambahan kecil: asumsi$\mathsf{ZFC}$pada awalnya konsisten , keduanya$\mathsf{ZFC+CH}$ dan $\mathsf{ZFC+\neg CH}$ konsisten.