Definisi keterhubungan dan intuisinya
Kami mengatakan ruang topologi $X$untuk dihubungkan jika tidak dapat ditulis sebagai penyatuan terputus dari dua himpunan bagian terbuka yang tidak kosong. Keterhubungan secara intuitif berarti ruang topologis kita adalah satu bagian. Saya tidak dapat melihat bagaimana definisi di atas menangkap intuisi. Tolong bantu.
Jawaban
Jika saja ada ruang $X$ memiliki dua atau lebih poin dapat ditulis sebagai $A \cup B$, dengan $A,B$terputus-putus dan tidak kosong, dalam banyak cara. Tetapi terputus berarti ada cara untuk melakukan itu sedemikian rupa sehingga tidak ada gunanya$A$ dekat dengan" $B$ dan tidak ada gunanya $B$ dekat dengan" $A$. Menjadi dekat diformalkan dalam topologi dengan berada di closure. Jadi panggil spasi$X$ terputus ketika kita dapat menulisnya sebagai $A \cup B$, kedua set tidak kosong dan semacamnya $\overline{A} \cap B = \emptyset$ (tidak ada gunanya $B$ dekat dengan $A$) dan $A \cap \overline{B} = \emptyset$ (tidak ada gunanya $A$ dekat dengan $B$). Tapi ini menyiratkan itu$$X\setminus B= A \subseteq \overline{A} \subseteq X\setminus B$$ jadi secara khusus $A=\overline{A}$ dan $A$ditutup. Secara simetris,$B$ ditutup juga, dan sebagai $A$ dan $B$ adalah saling melengkapi, $A$ dan $B$ terbuka juga (yang juga bisa Anda lihat sebagai berikut, misalnya jika $x \in A$ bukanlah titik interior $A$, setiap lingkungan $x$ akan berisi non-$A$ poin, jadi poin $B$, sebagai $A\cup B=X$. Dan jika setiap lingkungan$x$ berpotongan $B$, $x \in \overline{B}$, tapi kami menganggap tidak ada gunanya $x$ dari $A$ dekat dengan $B$...)
Jadi kita berada pada definisi pertanyaan, menyebut ruang yang tidak terputus dalam pengertian ini, "terhubung". Ini sebenarnya setara dengan menanyakan dalam definisi keterputusan untuk bagian yang terbuka secara bersamaan, bagian yang tertutup secara bersamaan atau bagian yang "terpisah" (sebagai definisi pertama).
Jika Anda memotong beberapa set yang terhubung menjadi dua bagian, maka di lokasi pemotongan, salah satu dari dua bagian akan "terbuka", sedangkan yang lainnya akan "ditutup". Misalnya, jika Anda memotong garis nyata menjadi dua bagian$a\in\mathbb R$, Anda akan mendapatkan dua potong $(-\infty,a],(a,\infty)$, atau $(-\infty,a),[a,\infty)$. Setidaknya salah satu dari mereka memiliki batas tertutup di$a$. Titik-titik yang termasuk dalam potongan harus dimasukkan ke dalam salah satu dari dua potongan tersebut, dan potongan tersebut akan memiliki titik potong sebagai titik batas. Demikian pula untuk ruang yang lebih rumit: garis yang kita potong harus didistribusikan di antara dua bagian, memberi mereka batas, membuatnya tidak terbuka.
Tentu saja, kita tidak perlu memotong sepanjang garis / bidang / apa pun, tetapi dalam kasus ini intuisi menjadi yang paling jelas.