Degenerasi keadaan dasar osilator harmonik

Question

Saya mengikuti video sidney coleman dan catatan kuliah di mana dia menyatakan bahwa keadaan dasar yang unik memerlukan osilator harmonik tak berputar sementara spin memperkenalkan degenerasi dalam keadaan dasar yang sesuai dengan berbagai nilai komponen z dari spin.

Adakah yang bisa menjelaskan bagaimana degenerasi muncul untuk keadaan dasar untuk osilator harmonik kuantum putaran nol?

Answer 1

Degenerasi terjadi ketika suatu sistem memiliki lebih dari satu keadaan untuk tingkat energi tertentu. Mempertimbangkan osilator harmonik tiga dimensi, energi diberikan oleh

$$E_n = (n_x + n_y + n_z) \,\hbar \omega + \frac{3}{2},$$

dimana $n_x, n_y$, dan $n_z$ adalah bilangan bulat, dan status dapat diwakili oleh $|n_x, n_y, n_z\rangle$. Dapat dengan mudah dilihat bahwa semua keadaan kecuali keadaan dasar merosot.

Sekarang anggaplah partikel tersebut memiliki spin (katakanlah, spin-$1/2$). Dalam hal ini, status total sistem membutuhkan empat bilangan kuantum untuk mendeskripsikannya,$n_x, n_y, n_z,$ dan $s$, putaran partikel dan dapat mengambil (dalam hal ini) dua nilai$|+\rangle$ atau $|-\rangle$. Namun, spin tidak muncul dimanapun di Hamiltonian dan dengan demikian dalam ekspresi energi, dan karena itu keduanya menyatakan

$$|n_x, n_y, n_z, +\rangle \quad \quad\text{and} \quad \quad |n_x, n_y, n_z, -\rangle$$

yang berbeda , namun demikian memiliki energi yang sama. Jadi, jika kita memiliki putaran bukan-nol, keadaan dasar tidak bisa lagi menjadi non-merosot.

Answer 2

Osilator harmonik 1D Hamilton diberikan oleh $$H=\left(n+\frac{1}{2}\right)\hbar\omega$$ dimana $\omega$ adalah frekuensi dan $n$ adalah bilangan asli.

Seperti yang Anda lihat, Hamiltonian tidak bergantung pada putaran $s$. Yang berarti adalah mungkin untuk mengamati / mendefinisikan putaran dan energi secara bersamaan. Selanjutnya itu berarti setiap tingkat energi$n$ dapat memiliki $2s+1$nilai putaran yang mungkin. Dengan demikian setiap tingkat merosot termasuk keadaan dasar (kecuali bila$s=0$).