Densitas Borel ditetapkan ke 0

Question

Teorema kepadatan Lebesgue mengatakan bahwa jika $E$ adalah himpunan terukur Lebesgue, kemudian massa jenis $E$ di hampir setiap elemen $E$ adalah 1 dan kepadatan $E$ di hampir setiap elemen tidak dalam $E$ adalah 0.

Namun, apakah benar itu untuk masing-masing $t$ ketat antara 0 dan 1, ada satu set Borel $E$ yang memiliki kepadatan $t$ pada 0?

Saya tidak tahu bagaimana membuat himpunan seperti itu untuk nilai acak $t$. Bantuan apa pun akan dihargai.

Answer 1

Iya. Dalam dimensi$\geq 2$ ini sepele, jadi saya berasumsi kita sedang melihat garis sebenarnya.

Diberikan $n>0$ dan $\alpha\in [0,1]$, taruh $U'_{n,\alpha}=(\frac{1}{n+1},\frac{1}{n+1}+\alpha(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}))$ dan $U_{n,\alpha}=U'_{n,\alpha}\cup -U'_{n,\alpha}$.

Taruh $U_\alpha=\bigcup_{n\geq 1} U_{n,\alpha}$. Kemudian kepadatan$U_{n,\alpha}$ di $0$ persis $\alpha$. Untuk melihat ini, tulislah$m_r$ untuk $\frac{\lambda(U_\alpha\cap (-r,r))}{2r}$ dan perhatikan bahwa:

• jika $r\in (\frac{1}{n+1},\frac{1}{n+1}+\alpha(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}))$, kemudian $m_{\frac{1}{n+1}}\leq m_r\leq m_{\frac{1}{n+1}+\alpha(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})}$
• jika $r\in (\frac{1}{n+1}+\alpha(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}),\frac{1}{n})$, kemudian $m_{\frac{1}{n}}\leq m_r\leq m_{\frac{1}{n+1}+\alpha(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})}$
• $m_{\frac{1}{n}}=\alpha$,
• $m_{\frac{1}{n+1}+\alpha(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})}\leq m_{\frac{1}{n+1}}+n\alpha(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})=\alpha+\frac{\alpha}{n+1}$.

Answer 2

Petunjuk: Biarkan $I_n=(1/(n+1),1/n).$ Membiarkan $L_n$ menjadi panjang $I_n.$ Dari $I_n$ kami memilih subinterval

$$J_n = (1/(n+1),1/(n+1)+tL_n).$$

$J_n$ adalah "$t$-bite "dari $I_n.$ Set $E=\cup J_n.$ Jika saya memikirkan hal ini dengan benar, kami akan melakukannya

$$\lim_{r\to 0^+} \frac{m((0,r)\cap E)}{r} = t.$$

Answer 3

Pertimbangkan urutan angka $r_n \searrow 0$ seperti yang $\frac{r_{n-1}}{r_n} \to 1$. Membiarkan$\theta$ menjadi ukuran yang melestarikan peta $(0,r_1]$ untuk $\mathbb R^2$ itu membutuhkan $(\pi r_{n}^2,\pi r_{n-1}^2] \subset \mathbb R$ untuk $\{x \in \mathbb R^2: r_n < |x| \le r_{n-1}\}$. Lalu biarkan$A$ menjadi 'sepotong kue' yang berpusat pada asal dalam $\mathbb R^2$, dengan sudut $\alpha$di ujung. Kemudian$\theta^{-1}(A)$ akan menjadi satu set dengan kepadatan $\alpha/(4\pi)$ di $0$.

Ini akan memberikan kepadatan $0 \le t \le \frac12$. Mendapatkan$\frac12 < t \le 1$, cukup tambahkan $(-\infty,0]$.