Diagram simpul non-alternatif
Mulailah dengan kurva tertutup, berpotongan sendiri, di mana setiap persimpangan melintang. Sekarang bentuk sesuatu seperti kebalikan dari diagram simpul bolak-balik sebagai berikut. Mulai dari mana saja, lewati tikungan, dan di setiap persimpangan yang belum pernah dikunjungi sebelumnya, lewati/atas. Jika penyeberangan telah dikunjungi sebelumnya, tinggalkan penunjukan penyeberangan yang ditetapkan.
Dua contoh ditunjukkan di bawah ini. (a) jelas merupakan ketidakjelasan. (b) juga tidak jelas, mungkin tidak begitu jelas.

Lingkaran merah menunjukkan titik awal, panah arah traversal.
Saya berharap diagram ini jelas mewakili ketidakjelasan, tetapi saya tidak melihat bukti yang jelas. Jadi:
T . Buktikan (atau bantah) bahwa diagram simpul seperti itu selalu mewakili simpul.
Jawaban
Diagram seperti yang Anda gambarkan disebut diagram menurun , dan memang selalu menghasilkan simpul trivial. Untuk buktinya, lihat Lemma 3.2.10 darihttp://www.math.ucsd.edu/~justin/Roberts-Knotes-Jan2015.pdf. Jawaban sebelumnya memiliki ide yang tepat.
Ini adalah selalu ketidakjelasan. Saya diperkenalkan dengan ini oleh penasihat saya, tetapi saya pikir itu juga bukan argumennya, jadi saya tidak tahu siapa yang melakukan ini terlebih dahulu.
Untuk melihat ini, kita akan menggunakan fakta bahwa nomor jembatan dari sebuah simpul adalah satu jika simpulnya adalah simpulnya.
Gambar proyeksi simpul Anda dan pilih titik awal Anda. Kami akan membuat proyeksi ini menjadi diagram dengan hanya membuat penyeberangan lebih saat kami melintasi proyeksi. Jika proyeksi digambar dalam$x,y$pesawat dimana$z=0$, kita bisa membuat simpul di$\mathbb{R}^3$dengan membuat setiap$i$-persimpangan baru yang kami datangi di level$z=i$. Jadi, ketika kita telah bertemu setiap persimpangan di proyeksi dan akan kembali ke persimpangan penyeberangan pertama, simpul kita di 3-ruang harus turun kembali dari ketinggian tertentu.$z$nilai kembali ke$z=0$.
Apa yang kita miliki adalah fungsi ketinggian di mana simpul meningkat secara ketat di mana-mana kecuali segmen kecil antara persimpangan terakhir dan persimpangan pertama. Jadi, ada satu maksimum dan satu minimum dan oleh karena itu simpul jembatan nomor 1, unknot.
Tidak yakin seberapa membantu, karena saya bukan ahli, tetapi inilah ide yang mungkin benar.
Pertama, perkenalkan dimensi ketiga, tegak lurus dengan gambar Anda, dan pastikan titik "awal" adalah proyeksi segmen yang lurus "naik". Kemudian, mungkin untuk menempatkan sisa simpul sehingga, saat berjalan di sepanjang garis, Anda hanya turun. Bayangkan sebuah porak poranda (dengan tangga hampir vertikal naik), dan Anda akan memiliki ide bagus apa yang saya maksud. Sekarang ini agak bergelombang, tapi saya yakin Anda bisa menetapkan ketinggian tetap untuk masing-masing persimpangan, saat Anda melewatinya dalam perjalanan "turun", dan kemudian meluas ke semua titik lain di simpul. (Misalnya jika bagian "tangga" naik dari ketinggian$0$ke$1$, untuk$n$persimpangan, saat Anda melewati masing-masing dua kali, Anda dapat memesan ketinggian$\frac{k}{2n+1}, k=1,2,\ldots,2n$untuk titik "berpotongan" pada simpul.)
Sisanya harus menjadi perhitungan sederhana untuk menunjukkan bahwa simpul ini dapat dideformasi menjadi unknot. Jika persamaan simpul asli (bagian "geser") diparameterisasikan sebagai$(\rho(t)\cos\phi(t),\rho(t)\sin\phi(t),1-t), t\in[0,1]$, dengan$\rho(0)=\rho(1)=0$, lalu deformasi, untuk$\lambda\in[0,1]$ke dalam$(\rho(t)\cos\lambda\phi(t),\rho(t)\sin\lambda\phi(t),1-t)$.$\lambda=1$memberikan simpul asli, sementara$\lambda=0$memberikan simpul yang jelas di$x-z$pesawat terbang.