Diberikan a $2\times 2$ matriks $A$, apakah dua nilai eigen unik menjamin hal itu $A$ bisa didiagonisasi?

Dec 07 2020

Pertanyaan ini berkaitan dengan seminar yang sedang saya kerjakan, jadi saya tidak ingin mengungkapkan keseluruhan pertanyaan tetapi hanya menanyakan bagaimana hal ini akan ditangani dalam teori.

$A = \begin{bmatrix}a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ $Q=(\lambda I - A) = \begin{bmatrix}\lambda - a & -b \\ -c & \lambda - d \end{bmatrix}$

Kami kemudian ingin mencari nilai eigen dari $A$, yang merespons pemecahan $\det(Q)=0$. Pertanyaan saya adalah, mengingat kita akan mendapatkan dua nilai eigen unik, apakah itu berarti kita dijamin matriks itu$A$bisa didiagonalisasi? Saya hanya menemukan teorema yang mengatakan jika kita memiliki dua vektor eigen yang berbeda untuk a$2\times 2$ matriks $A$, kemudian $A$ dapat didiagonalisasi ...

Bantuan akan sangat dihargai!

Jawaban

NirF Dec 06 2020 at 23:39

Jika Anda memiliki $2$ nilai eigen unik, artinya polinomial karakteristik Anda akan terlihat seperti ini: $(λ-a)(λ-b)$, dimana $a$ dan $b$adalah nilai eigen Anda.
Sekarang sebuah matriks dapat didiagonisasi jika untuk masing-masing nilai eigennya keserbaragaman aljabar sama dengan kelipatan geometris.
Dalam kasus kami, Anda memiliki perkalian aljabar$1$ (untuk setiap nilai eigen), dan dengan demikian kelipatan geometriknya juga sama $1$ ($0<\text{geometric multiplicity} \leq \text{algebraic multiplicity}$) sehingga matriks dapat didiagonisasi.
Jadi untuk seorang jenderal$n\times n$ matriks jika Anda punya $n$ eigenvalues ​​yang unik, dapat didiagonisasi.

2 RobertLewis Dec 07 2020 at 00:56

Jika $A$ adalah $n \times n$ matriks nilai eigen yang berbeda, ada vektor bukan nol $V_i$, $1 \le i \le n$, dengan

$AV_i = \mu_i V_i \tag 1$

itu $\mu_i$ menjadi nilai eigen yang berbeda dari $A$. Diketahui dengan baik bahwa vektor eigen yang terkait dengan nilai eigen berbeda tidak bergantung secara linier; demikianlah matriksnya

$S = [V_1 \; V_2 \; \ldots \; V_n ] \tag 2$

adalah non-singular dan karenanya dapat dibalik, jadi ada $n \times n$ matriks $S^{-1}$ dengan

$S^{-1}S = SS^{-1} = I; \tag 3$

juga,

$AS = [AV_1 \; AV_2 \; \ldots \; AV_n ] = [\mu_1 V_1 \; \mu_2 V_2 \; \ldots \; \mu_n V_n]; \tag 4$

jadi

$S^{-1}AS = S^{-1} [\mu_1 V_1 \; \mu_2 V_2 \; \ldots \; \mu_n V_n] = [\mu_1 S^{-1} V_1 \; \mu_2 S^{-1} V_2 \; \ldots \; \mu_n S^{-1} V_n]; \tag 5$

sekarang sesuai dengan (2) dan (3),

$S^{-1}S = S^{-1} [V_1 \; V_2 \; \ldots \; V_n ] = [S^{-1} V_1 \; S^{-1} V_2 \; \ldots \; S^{-1} V_n ] = I, \tag 6$

yang menunjukkan bahwa masing-masing $S^{-1} V_i$ adalah vektor kolom yang $i$entri -th sama dengan $1$ dengan semua elemen lainnya $0$; menggabungkan pengamatan ini ke (5) yang kami peroleh

$S^{-1}AS = \text{diag}(\mu_1, \; \mu_2, \; \ldots, \; \mu_n), \tag 7$

dan kami menemukan itu $A$ diagonalisasi oleh $S$. $OE \Delta$.