Diberikan positif $x,y$ seperti yang $x > y$ dan $\sqrt{x} \sqrt{y}(x-y) = x+y $, temukan minimum $(x+y)$
Saya diberi angka positif $x, y$ seperti yang $x > y$ dan $\sqrt{x} \sqrt{y}(x-y) = x+y $. Saya perlu menemukan nilai minimum$(x+y)$. Ini percobaan saya. Menggunakan ketidaksetaraan AM-GM untuk bilangan nonnegatif, saya punya
$$ \frac{(x+y)}{2} \geqslant \sqrt{x} \sqrt{y} $$
$$ \sqrt{x} \sqrt{y}(x-y) \geqslant 2 \sqrt{x} \sqrt{y} \\ \therefore (x-y) \geqslant 2 $$
Jadi, saya sudah bisa sampai pada kesimpulan ini. Tapi saya terjebak di sini. Ada bantuan?
Terima kasih
Jawaban
Oleh AM-GM $$(x+y)^2=xy(x-y)^2=\frac{1}{4}\cdot4xy(x-y)^2\leq\frac{1}{4}\left(\frac{4xy+(x-y)^2}{2}\right)^2=\frac{(x+y)^4}{16},$$ pemberian yang mana $$x+y\geq4.$$ Kesetaraan terjadi untuk $(x-y)\sqrt{xy}=x+y$ dan $4xy=(x-y)^2,$ pemberian yang mana $$(x,y)=(2+\sqrt2,2-\sqrt2),$$ yang mengatakan bahwa kami mendapat nilai minimal.
taruh $x=r^2{cos}^2a$ dan $y=r^2{sin}^2a$ juga biarkan $a$ milik $[0,\frac{\pi}{2}]$
jadi kita harus mencari nilai maksimal $r^2$
memasukkan nilai-nilai dalam persamaan yang diberikan dan menyederhanakan menggunakan rumus trigonometri dasar yang kita miliki $r^4(cosa)(sina)(cos2a)=r^2$ atau
$ r^2=\frac{4}{sin(4a)} \ge 4$
Petunjuk: letakkan $x=\alpha \cosh^2(x)$ dan $y=\alpha\sinh^2(x)$ kondisinya menjadi:
$$\alpha=\tanh(x)+\frac{1}{\tanh(x)}$$
Ekspresinya adalah:
$$x+y=\Big(\tanh(x)+\frac{1}{\tanh(x)}\Big)\frac{1+\tanh^2(x)}{1-\tanh^2(x)}$$
Memecahkannya kami menemukan $x+y\geq 4$.
Petunjuk.
Membuat
$$ \cases{ u = x+y\\ v = x-y } $$
kita punya
$$ \sqrt{u^2-v^2}=2\frac uv $$
begitu
$$ u^2 = \frac{v^4}{v^2-4} $$
dll.
Diberikan $\sqrt{xy}\left(x-y\right)=x+y$
membiarkan $yx=c$ , dimana $c>0$.
$$\sqrt{c}\left(x^{2}-c\right)=x^{2}+c$$ $$x^{2}-\frac{\left(c+1+2\sqrt{c}\right)}{\left(c-1\right)}c=0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -[1]$$
Biarkan fungsi $$F(x,c)=x^{2}-\frac{\left(c+1+2\sqrt{c}\right)}{\left(c-1\right)}c$$didefinisikan. Kemudian$$\frac{\partial F(x,c)}{\partial c}=0$$ secara konstan $x$ memberi kami $c \approx 2.618 \implies x \approx 3.33 $ (menggunakan $[1]$). Begitu,$$x+\frac{c}{x}\geqslant 4$$ $$min(x+y)=4$$
kapan $x=2+\sqrt{2} \text{ and } y=2-\sqrt2$ seperti yang ditunjukkan.