Dimana integrasi berakhir?

Question

im baru untuk integral. Saya sedang memecahkan$$ \int \frac{1}{2x^2+6}$$ tapi saya mendapatkan jawaban yang salah: $$ \frac{1}{6}\arctan\frac{x}{\sqrt3}$$ Jawaban yang benar seharusnya: $$ \frac{\sqrt3}{6}\arctan\frac{x}{\sqrt3}$$ Ini percobaan lengkap saya: $$ \int \frac{1}{6(\frac{2x^2}{6}+1)} = \int \frac{1}{6(1+(\frac{x}{\sqrt3})^2)} = \frac{1}{6}\arctan\frac{x}{\sqrt3}$$ Dapatkah Anda mengoreksi saya dan memberi saya beberapa sumber untuk dipelajari?

Terima kasih sebelumnya!

Answer 1

Anda benar sepenuhnya hingga (dan termasuk) langkah:

$${=\int \frac{1}{6\left(1 + \left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)^2\right)}dx}$$

Anda salah menerapkan fakta itu

$${\int \frac{1}{1+x^2}dx=\arctan(x)+c}$$

Perhatikan itu pasti ${1+x^2}$- tidak ${1+ax^2}$. Sebagai gantinya, Anda harus melakukan substitusi${u=\frac{x}{\sqrt{3}}}$ mendapatkan

$${=\frac{\sqrt{3}}{6}\int\frac{1}{1+u^2}du=\frac{\sqrt{3}}{6}\arctan(u)+c=\frac{\sqrt{3}}{6}\arctan\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)+c}$$

Seperti yang dipersyaratkan.

Answer 2

Diberikan, $$\int \frac{1}{2x^2+6}$$

Kami tahu itu,$$\int{\frac{1}{a^2+u^2}}dx = \frac{1}{a}\tan^{-1}(\frac{u}{a})+c$$

Begitu,

$$\int \frac{1}{6(\frac{2x^2}{6}+1)}dx $$ $$= \int \frac{1}{6(1+(\frac{x}{\sqrt3})^2)}dx$$ Sini,$a=1$ dan $u=\frac{x}{\sqrt3}$ dan $du=\frac{dx}{\sqrt3}$,

yaitu, $dx={\sqrt3}du$

Jadi jawaban yang kami inginkan adalah,

$$\bbox[5px,border:2px solid red]{\frac{\sqrt3}{6}\arctan\frac{x}{\sqrt3}}$$

Answer 3

$$\int \frac{1}{2x^2+6}dx = \frac{1}{2}\int \frac{1}{x^2+3}dx$$

$$x = \sqrt{3}\tan{\theta}\Rightarrow dx = \sqrt{3}\sec^2{\theta}d\theta$$

Memasukkan substitusi kami kembali ke hasil integral

$$\frac{\sqrt{3}}{2}\int \frac{\sec^2{\theta}}{3\tan^2{\theta}+3}d\theta = \frac{\sqrt{3}}{6}\int \frac{\sec^2{\theta}}{\sec^2{\theta}}d\theta$$

Jadi sekarang kita tinggal

$$\frac{\sqrt3}{6}\theta +c$$

Karena ini adalah integral tak tentu, kita harus menuliskan jawaban kita dalam x. Melihat kembali substitusi kami dan mengatur ulang theta, kami sampai pada jawaban akhir kami:

$$\frac{\sqrt3}{6}\tan^{-1}(\frac{x}{\sqrt{3}})+c$$

Answer 4

Masalah Anda terletak pada persamaan terakhir. Jika$F(x)$ adalah primitif dari $f(x)$, dan jika $c\ne0$, lalu primitif dari $f(cx)$ akan $\frac1cF(cx)$. Jadi, sejak itu$\arctan(x)$ adalah primitif dari $\frac1{1+x^2}$, primitif dari $\frac1{1+(x/\sqrt3)^2}$ akan $\sqrt3\arctan\left(\frac x{\sqrt3}\right)$.

Answer 5

Pengganti $x=\sqrt3\,u$ $$ \begin{align} \int\frac{\mathrm{d}x}{2x^2+6} &=\frac{\sqrt3}6\int\frac{\mathrm{d}u}{u^2+1}\\ &=\frac{\sqrt3}6\arctan(u)+C\\ &=\frac{\sqrt3}6\arctan\left(\frac{x}{\sqrt3}\right)+C\\ \end{align} $$