$\ell^1$ functor sebagai adjoint kiri ke fungsi bola unit
Dalam komentar untuk jawaban ini
https://mathoverflow.net/a/38755/1106
Yemon Choi mencatat bahwa "The $\ell^1$ functor adalah fungsi ruang Banach gratis, di sebelah kiri adjoint ke fungsi bola unit yang lupa ".
Pernyataan ini menarik bagi saya, tetapi saya tidak yakin kategori dan fungsi apa yang dibicarakan Yemon di sini. Saya membayangkan bahwa kami memiliki kategori ruang Banach (dengan peta yang mana?) Di satu sisi, tapi bagaimana dengan yang lain? Jika ada yang bisa mengisi detailnya di sini, saya akan sangat senang. Juga, jika ada yang memiliki referensi ke teks analisis fungsional yang mengambil perspektif ini, saya akan senang dengan jawaban itu juga.
Jawaban
Anda ingin mengambil kategori $\text{Ban}_1$ruang Banach dan peta pendek (peta linier dari norma operator$\le 1$). Functor bola unit$U : \text{Ban}_1 \to \text{Set}$ diwakili oleh $\mathbb{C}$, dan adjoint kirinya mengirimkan satu set $S$ ke produk bersama dari $S$ salinan $\mathbb{C}$, yang ternyata $\ell^1(S)$. Ini mengatakan bahwa kita memiliki kebijaksanaan alami
$$\text{Hom}_{\text{Ban}_1}(\ell^1(S), B) \cong \text{Hom}_{\text{Set}}(S, U(B))$$
yang mengatakan bahwa peta dari satu set $S$ ke bola unit $U(B)$ dari ruang Banach meluas secara unik dan bebas ke peta pendek $\ell^1(S) \to B$, dengan "linearitas".
Secara intuitif, ini mengatakan itu $\ell^1(S)$ diperoleh dari $S$ dengan mewajibkan setiap elemen $S$ memiliki norma $1$ (sehingga itu ada di bola satuan dan dapat segera memetakan ke elemen lain dari bola satuan lainnya) dan kemudian meminta kombinasi linier $\sum c_s s$memiliki kemungkinan norma terbesar yang kompatibel dengan ini (sehingga dapat segera memetakan ke kombinasi linier lain seperti itu di ruang Banach lainnya). Kita punya$ \| \sum c_s s \| \le \sum |c_s|$ oleh segitiga pertidaksamaan dan $\ell^1$ norma adalah kasus kesetaraan ini.
Konstruksi ini menggeneralisasi konstruksi produk bersama di $\text{Ban}_1$, yang terlihat seperti ini: if $B_i$ adalah kumpulan ruang Banach, produk bersama mereka $\text{Ban}_1$ adalah penyelesaian penjumlahan langsung ruang vektor $\bigoplus_i B_i$ sehubungan dengan "$\ell^1$ norma" $\sum_i \| b_i \|_{B_i}$.
Maaf atas promosi diri, tetapi saya membahas sedikit lebih detail tentang properti kategoris dari $\text{Ban}_1$(misalnya lengkap, lengkap, dan tertutup simetris monoidal) di ruang Banach posting blog saya (dan metrik Lawvere, dan kategori tertutup) . Secara khusus saya mencoba untuk memotivasi penggunaan peta pendek. Perhatikan bahwa jika kita hanya bekerja dengan peta linier terbatas maka kita tidak dapat berharap untuk memulihkan ruang Banach hingga isometri melalui properti universal, sedangkan isomorfisme dalam$\text{Ban}_1$adalah isometrik. Sebaliknya bahasa kategoris masih mampu berbicara tentang peta berbatas, melalui struktur tertutup.
Misalkan Bang (Ban, geometris) menunjukkan kategori yang objeknya adalah ruang Banach dan yang morfismenya adalah peta linier yang memiliki norma $\leq 1$. (Kita dapat mengerjakan skalar nyata atau kompleks.) Misalkan Set menjadi kategori yang objeknya adalah himpunan dan morfismenya adalah fungsi.$\newcommand{\Ball}{{\sf ball}}$
Ada sebuah functor $\Ball$dari Bang ke Set yang menetapkan ke setiap ruang Banach bola unit tertutupnya; Kondisi morfisme Bang memastikan itu masing-masing$f:X\to Y$ dalam Bang membatasi suatu fungsi $\Ball(X) \to \Ball(Y)$.
Apa yang akan menyambung ke kiri $\Ball$terlihat seperti? Kita dapat menggunakan deskripsi / karakterisasi dalam istilah objek awal dalam kategori koma. Jadi untuk setiap set$S$ kami ingin ruang Banach $F(S)$ dan sebuah fungsi $\eta_S: S \to\Ball(F(S))$ dengan properti universal berikut: kapan pun $E$ adalah ruang Banach dan $h:S\to \Ball(E)$ adalah fungsi, ada morfisme Bang yang unik $T: F(S)\to \Ball(E)$ seperti yang $\Ball(T)\circ\eta_S=f$ sebagai fungsi.
Mengurai definisi berbagai morfisme: yang kami butuhkan adalah untuk fungsi apa pun $h$ dari $S$ untuk $E$ memuaskan $\Vert h(j)\Vert \leq 1$ untuk semua $j\in S$, harus ada peta linier yang unik $T: F(S) \to E$ seperti yang $\Vert T(v)\Vert \leq \Vert v\Vert$ untuk semua $v\in F(S)$ dan $T(\eta_S(j))=h(j)$ untuk semua $j\in S$.
Setelah mencoba memotivasi banyak hal, mari buat Ansatz . Menetapkan$F(S)$ menjadi ruang Banach $\ell_1(S)$ dengan norma biasanya $\Vert\quad\Vert_1$; membiarkan$(e_j)_{j\in S}$ menunjukkan bectors dasar kanonik di $\ell_1(S)$. Satu-satunya kandidat yang mungkin untuk peta linier$T:\ell_1(S) \to E$ adalah: definisikan $T(e_j):= h(j)$ untuk setiap $j$, dan diperluas dengan linearitas dan kontinuitas. Untuk melihat apakah ini berhasil, amati itu untuk apa saja$v=\sum_{j\in S} \lambda_j e_j \in \ell_1(S)$ kita punya
$$ \Vert \sum_{j\in S} \lambda_j h(j) \Vert \leq \sum_{j\in S} \vert \lambda_j \vert \Vert h(j)\Vert \leq \sum_{j\in S} \vert \lambda_j \vert \sup_{j\in S} \Vert h(j)\Vert \leq \Vert v \vert_1 $$
Kesimpulannya: pada dasarnya apa yang dikatakan argumen di atas adalah dari peta linier berbatas $\ell_1(S)$ ke ruang Banach $E$ mendefinisikan fungsi terbatas $S\to E$, dan sebaliknya setiap fungsi yang dibatasi $S\to E$ memiliki ekstensi linier terbatas yang unik $\ell_1(S)\to E$. (Perhatikan bahwa paragraf ini, yang dinyatakan dalam bahasa analis daripada bahasa kategoris, sedikit lebih umum karena saya tidak mengharuskan semuanya memiliki norma$\leq 1$; tetapi membatasi pada Bang tampaknya penting jika seseorang ingin mendapatkan pernyataan yang bagus tentang fakta analisis ini dalam bahasa tambahan.)
Sebenarnya kita bisa melangkah lebih jauh dan mengatakan bahwa adjunction isomorphism $Set(S, \Ball(E)) \cong {\rm Bang}(\ell_1(S),E)$, yang apriori hanyalah kumpulan kumpulan yang berperilaku alami, dapat diperkaya menjadi isomorfisme dalam Bang: $\ell_\infty(S;E) \cong {\mathcal B}(\ell_1(S),E)$.
Ini adalah Latihan 20 , di halaman 167 dalam Kuliah dan Latihan Analisis Fungsional oleh Helemskii .
Diskusi yang lebih luas dilakukan oleh Jiří Rosický dalam Apakah ruang Banach monadik? , arXiv: 2011.07543 .