Evolusi Waktu Fungsi Wigner
Fungsi Wigner didefinisikan sebagai: $$W(x,p,t)=\frac{1}{2\pi\hbar}\int dy \rho(x+y/2, x-y/2, t)e^{-ipy/\hbar}\tag{1}$$ Dimana $\rho(x, y, t)=\langle x|\hat{\rho}|y\rangle$. Saya seharusnya menemukan evolusi waktu dari fungsi Wigner untuk Harmonic Oscillator dimulai dari persamaan evolusi von Neumann yang diberikan oleh:$$i\hbar\frac{\partial \rho}{\partial t}=\left[H,\rho\right].\tag{2}$$Saya tidak yakin bagaimana memulainya, karena persamaan evolusi von Neumann melibatkan komutator Hamilton dan operator yang diinginkan. Bagaimanapun fungsi Wigner adalah sebuah fungsi, bagaimana cara mengevaluasi komutator?
Jawaban
Mulai dari persamaan von Neumann: $$i\hbar\partial \hat{\rho} / \partial t=[\hat{H}, \hat{\rho}]$$ Kami sekarang mengambil Transformasi Weyl di kedua sisi dan mencatat bahwa turunan parsial bolak-balik dengan transformasi dan komutator dipetakan ke braket Moyal: $$i\hbar\partial \tilde{\rho} / \partial t=-2i\tilde{H} sin(\hbar \Lambda/2) \tilde{\rho}$$ di mana tilde menyiratkan transformasi Weyl dari operator dan $\Lambda = \frac{\partial}{\partial p}\frac{\partial}{\partial x}-\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial}{\partial p}$Dimana turunan parsial pertama bergerak ke kiri dan yang kedua ke kanan. Sekarang transformasi Weyl dari Hamiltonian osilator harmonik dapat diperlihatkan menjadi adil$\tilde{H}=p^2/2m+m\omega^2x^2$ Sekarang memperluas fungsi sinus dalam Seri Taylor kita dapatkan: $$i\hbar\partial \tilde{\rho}=-2i\left((p^2/2m + m\omega^2 x^2)\left(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}\left(\frac{\hbar}{2}\right)^{2n+1}\left(\frac{\partial}{\partial p}\frac{\partial}{\partial x}-\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial}{\partial p}\right)^{2n+1}\right)\tilde{\rho}\right)$$ Sekarang kami mengekspresikan suku pertama dari jumlah tersebut secara terpisah dan kami mendapatkan: $$i\hbar\partial \tilde{\rho}=-2i\left((p^2/2m + m\omega^2 x^2)\left(\left(\frac{\hbar}{2}\right)\left(\frac{\partial}{\partial p}\frac{\partial}{\partial x}-\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial}{\partial p}\right)+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}\left(\frac{\hbar}{2}\right)^{2n+1}\left(\frac{\partial}{\partial p}\frac{\partial}{\partial x}-\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial}{\partial p}\right)^{2n+1}\right)\tilde{\rho}\right)$$
Sekarang menerapkan suku pertama dari jumlah yang kita dapatkan: $$i\hbar\partial \tilde{\rho}=-i\hbar\left((p/m\frac{\partial}{\partial x} - 2 m\omega^2 x\frac{\partial}{\partial p})\tilde{\rho}+\tilde{H}\left(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}\left(\frac{\hbar}{2}\right)^{2n+1}\left(\frac{\partial}{\partial p}\frac{\partial}{\partial x}-\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial}{\partial p}\right)^{2n+1}\right)\tilde{\rho}\right)$$
Suku di kiri dan dua suku pertama di kanan luar penjumlahan persis sama dengan persamaan Lioville. Karena osilator harmonik Hamiltonian adalah kuadratik in$x$ dan $p$ dan tidak memiliki istilah urutan yang lebih tinggi istilah tingkat yang lebih tinggi lenyap, meninggalkan kita dengan:
$$\partial \tilde{\rho}+(p/m\frac{\partial}{\partial x} + 2 m\omega^2 x\frac{\partial}{\partial p})\tilde{\rho}=0$$