$f$ terus menerus jikaf $G(f)$ adalah himpunan tertutup dalam ruang metrik [duplikat]
Grafik $f$ aku s $G(f) = \{(x,f(x)) : x\in X\} \subseteq X\times Y$
$X$ dan $Y$ adalah ruang metrik. $Y$ kompak.
$f$ terus menerus jikaf $G(f)$ adalah himpunan tertutup.
Saya mendapat jawaban terdekat di sini tetapi saya mencobanya sendiri terlebih dahulu dan terjebak pada satu titik dan saya butuh bantuan pada situasi tertentu yang tidak saya dapatkan di tempat lain /
$\Rightarrow$ bagian: Biarkan $(z_n)=(x_n,f(x_n))\in G_f$ menjadi urutan konvergen $G(f)$. Jika$(x,y)$adalah batasnya. Kami harus menunjukkan itu$y=f(x)$ dengan kata lain $(x,y)\in G_f$.
$x_n \to x$ $\Rightarrow$ $f(x_n)\to f(x)$[Dengan kesinambungan $f$.] $\Rightarrow f(x)=y$dengan keunikan batasnya. Karenanya$G_f$ ditutup.
$\Leftarrow$ bagian: Biarkan $x\in X$ dan $(x_n)$ urutan konvergen dengan batas $x$. Anda harus membuktikannya$(f(x_n))$ konvergen $Y$ dengan batas $f(x)$. Saya telah menggunakan urutan$z_n=(x_n,f(x_n))$ dan $G_f$ ditutup di ruang kompak $Y$ dan karenanya $G_f$kompak. Lalu ada selanjutnya$(x_{n_k},f(x_{n_k})) \to (x,y)\in G_f$. Kalau begitu kita akan punya$y=f(x)$ tapi bagaimana cara membuktikannya $f(x_n) \to f(x)$? Memang benar bahwa setiap penerusan$f(x_n)$ memiliki kemudian konvergen ke $f(x)$.
Jawaban
Dari komentar saya mendapat jawaban saya yang berasal dari lemma ini:
Lemma Let$Y$ menjadi ruang metrik yang kompak dan $(y_n)$ urutan yang suku-sukunya termasuk $Y$. Jika setiap urutan konvergen$(y_n)$menyatu ke batas yang sama$\ell\in Y$, kemudian $(y_n)$ menyatu dengan $\ell$.
Pembuktian Misalkan sebaliknya. Kemudian, ada$\epsilon>0$, seperti yang :
$$\forall N\in\mathbb{N},\,\exists n\ge N;\,d(y_n,\ell)>\epsilon$$
Ini memungkinkan kita untuk membangun sebuah urutan $(y_{n_k})$ seperti yang :
$$\forall k\in\mathbb{N},d(y_{n_k},\ell)>\epsilon$$
Sekarang ekstrak dari $(y_{n_k})$ sebuah urutan konvergen: batasnya $\ell$ dari hipotesis dan karenanya kami dapatkan $0=d(\ell,\ell)\ge\epsilon$ ...
Sebuah kontradiksi!
Sekarang seseorang dapat menutup jawaban ini tetapi saya dapat menyimpannya dalam catatan saya dan jika seseorang akan melanjutkan dengan cara ini. Mereka akan mendapat bantuan darinya. Saya mengajukan pertanyaan itu karena saya sedang memeriksa salah satu cara jelas yang dapat muncul di benak kita. Terima kasih banyak!