Fungsi analitik menghilang (sub) secara eksponensial pada tak terhingga

Question

Membiarkan $f$ menjadi fungsi analitik di setengah bidang kompleks atas dan terus menerus hingga sumbu nyata, dan biarkan $a>0$. Misalkan fungsi \ begin {persamaan} \ zeta \ in \ mathbb {C} ^ + \ rightarrow f (\ zeta) \ mathrm {e} ^ {- ia \ zeta} \ in \ mathbb {C} \ end {persamaan } itu sendiri dibatasi. Secara intuitif, karena nilai absolut dari eksponensial tumbuh sebagai$|z|\to\infty$, ini membutuhkan $f$ membusuk setidaknya secara eksponensial, dengan eksponen lebih besar dari $a$, di $|z|\to\infty$; misalnya, fungsi apa pun seperti$f(\zeta)=\mathrm{e}^{ib\zeta}$, $b>a$ akan melakukan trik, serta kombinasi dari fungsi tersebut.

Saya bertanya-tanya apakah kelas analitik, fungsi terikat di bidang setengah yang memenuhi kondisi ini sebenarnya lebih besar dan / atau dapat dikarakterisasi entah bagaimana.

Answer 1

Fungsi holomorfik dengan pertumbuhan terkontrol biasanya muncul dalam teori transformasi integral dari fungsi umum. Pertimbangkan, misalnya, kelas fungsi holomorfik yang dibatasi pada setengah bidang kanan oleh fungsi eksponensial yaitu sedemikian rupa sehingga$$ \mathscr{LH}_a\triangleq\big\{ f\text{ is holomorphic for }\Re\zeta>-a \text{ and } |f(\zeta)|\le Ce^{-L|\zeta|},\; \Re \zeta>0\big\}.\label{1}\tag{1} $$ untuk beberapa $L>0$ (dengan asumsi tidak ada keteraturan fungsi $f$ untuk $\Im \zeta=0$).
Dapat dibuktikan bahwa ([2] hal. 400 dan hal. 403) merupakan fungsi analitik$f$ Milik $\mathscr{LH}_a$jika dan hanya jika itu adalah transformasi Laplace dari hiperfungsi Laplace : dan kelas \ eqref {1} hingga rotasi berlawanan arah jarum jam dari$\pi/2$ dari domain definisi anggotanya, secara ketat mencakup kelas fungsi holomorfik yang dibatasi di bidang setengah atas dan kontinu pada sumbu nyata, yaitu jika $f$ dibatasi pada setengah bidang atas dan terus menerus pada sumbu nyata, lalu $f(-i\zeta)\in\mathscr{LH}_0$.

Terlepas dari karakterisasi "modern" pada kelas fungsi ini, Torsten Carleman menggunakan fungsi yang dibatasi pada bidang setengah atas dan bawah untuk mendefinisikan transformasi Fourier umum: hasilnya dikumpulkan dalam monograf [1].

Referensi

[1] Thorsten Carleman, L'intégrale de Fourier et pertanyaan qui s'y rattachent (Prancis), Publikasi Scientifiques de l'Institut Mittag-Leffler, 1, Uppsala. 119 hal. (1944), MR0014165 , Zbl 0060.25504 .

[2] Eungu Lee dan Dohan Kim, " Laplace hyperfunctions ", Integral Transforms and Special Functions, 19: 6, 399-407 (2008), MR2426730 , Zbl 1186.46042 .