Fungsi probabilitas untuk perbedaan antara dua iid Exponential rvs
Jawaban saya benar-benar salah. Bisakah Anda memberi tahu saya di mana logika saya salah.
Donald Trump dan Tori Black akan bertemu pada waktu tertentu dan keduanya akan terlambat $ \sim Exponential(\lambda), i.i.d. $. Apa cdf perbedaan waktu kedatangan.
Membiarkan $ X, Y$ jadilah waktu yang terlambat dan perbedaan jadilah $Z = X - Y$. Kasusnya$z \geq 0$ dan $z < 0 $.
Pertama, untuk $ z \geq 0$,
$ F_Z(z) = P(Z\leq z) = P(X-Y \leq z) = 1 - P(X-Y > z) = 1 - P(X>Z+Y)$
Z $\geq 0$, jadi $X \geq 0 $ untuk semua $Y$.
$$\begin{align} F_Z(z) & = 1 - \int_0^\infty(\int_{z+y}^\infty f_{X,Y}(x,y)dx) dy \\& = 1 - \int_0^\infty(\int_{z+y}^\infty \lambda e^{-\lambda y}\cdot\lambda e^{-\lambda x}dx) dy \\& = 1 - \int_0^\infty\lambda e^{-\lambda y}(-e^{-\lambda x}|_{z+y}^\infty) dy \\& = 1 - \int_0^\infty\lambda e^{-2\lambda y}e^{-\lambda z}dy \\& = 1 - e^{-\lambda z}\int_0^\infty \lambda e^{-2\lambda y} \\& = 1 - \frac{1}{2}e^{-\lambda z}\end{align}$$
Sekarang, untuk $z < 0$, di mana perhitungan saya salah .
Demikian pula, $F_Z(z) = 1 - P(X-Y > z) = 1 - P(X>Z+Y) $
$Z < 0$, maka untuk $X \geq 0$, $Y$ seharusnya $Y \geq -Z$, jadi saya lakukan:
$$\begin{align}F_Z(z) & = 1 - \int_{-z}^\infty(\int_{z+y}^\infty \lambda e^{-\lambda y}\cdot\lambda e^{-\lambda x}dx) dy \\& = 1- \int_{-z}^\infty \lambda e^{-\lambda y}\cdot e^{-\lambda (z+y)}dy \\& = 1 - e^{- \lambda z}\int_{-z}^\infty \lambda e^{-2\lambda y}dy \\& = 1 - e^{-\lambda z}\cdot \frac{1}{2}e ^{2\lambda z} \\& = 1 - \frac{1}{2}e^{\lambda z}.\end{align}$$
Oleh karena itu, jawaban saya untuk kedua kasus tersebut sama kecuali $z$ tanda.
CDF yang benar diberikan dalam buku teks sebagai
$F_Z(z) = 1 - \frac{1}{2}e^{-\lambda z}$ untuk $z\geq 0$ dan $\frac{1}{2}e^{\lambda z}$ untuk $z<0$.
Saya lupa untuk mengintegrasikan $Y$ lebih $\int_0^{-z}$ untuk $z<0$, yang bila disertakan memberikan jawaban buku teks.
Jawaban
Batas integral Anda tidak benar. Jika Anda menggambar wilayah integrasi, itu akan berada di kuadran pertama dan di sebelah kanan garis$X-Y=z$. Akan lebih mudah untuk mengintegrasikan jika urutan integrasinya adalah$dy dx$. Jika tidak, Anda perlu menghitung dua rentang berbeda:$0\leq y \leq -z$ dan $-z<y<\infty$. Dalam integral Anda, Anda hanya menghitung interval kedua.
$$\begin{align}P(X>z+Y)&=\int_0^\infty \int_0^{x-z}\lambda e^{-\lambda x}\lambda e^{-\lambda y}dydx\\&=\int_0^\infty \lambda e^{-\lambda x}(1-e^{-\lambda(x-z)})dx\\&=1-e^{\lambda z}\int_0^\infty \lambda e^{-2\lambda x}dx\\&=1-e^{\lambda z}/2\end{align}$$
Ini hasil $F_Z(z)=e^{\lambda z}/2$
Saya tidak akan menjawab pertanyaan OP dimana analisisnya untuk kasus ini $z<0$ salah, tetapi tunjukkan cara yang lebih mudah untuk mendapatkan jawaban yang benar setelah nilai $F_Z(z)$ telah ditentukan untuk menjadi $1-\frac 12 \exp(-\lambda z)$ kapan $z > 0$.
Sejak $X$ dan $Y$variabel-variabel acak iid, yang kepadatan dari$Z = X-Y$ harus sama dengan kepadatan $-Z = Y-X$, yaitu, massa jenis harus merupakan fungsi yang genap . Salah satu akibatnya adalah itu$P(Z>\alpha) = P(Z<-\alpha)$ dan segera kami dapatkan \begin{align} P(Z > z) &= \frac 12 \exp(-\lambda z), &z > 0,\\ &{\big \Downarrow}\\ P(Z < -z) &= \frac 12 \exp(-\lambda z), &z > 0,\\ &{\big \Downarrow}\\ P(Z < z) &= \frac 12 \exp(\lambda z), &z < 0,\\ \end{align} sehingga, $$F_Z(z) = P(Z \leq z) = P(Z < z) = \frac 12 \exp(\lambda z), \,\,\,\ z < 0.$$
Faktanya, masalah ini dapat diselesaikan tanpa menghitung integral sama sekali jika Anda mulai dari pengetahuan bahwa distribusi eksponensial adalah satu - satunya distribusi kontinu yang tidak memiliki memori. Artinya jika variabel acak$X\sim\text{Expon}(\lambda)$ lalu juga $X-a|X>a\sim\text{Expon}(\lambda)$ untuk apapun $a>0$. Dengan kata lain, jika$X$adalah waktu sampai Donald Trump tiba dan dia belum tiba setelahnya, katakanlah, 10 menit, maka waktu sampai dia tiba di luar 10 menit itu juga didistribusikan sebagai$X$. Ini mungkin tampak berlawanan dengan intuisi tetapi mudah dibuktikan.
Sekarang jika $X,Y$ apakah iid $\text{Expon}(\lambda)$ dan waktu kedatangan Donald dan Tori masing-masing, maka Donald akan menjadi orang pertama yang tiba dengan probabilitas 0,5: $\text{Prob}(Y>X)=0.5$. Lebih penting lagi dalam kasus itu, properti tanpa memori dari$Y$ memberitahu kita itu $Y-X|Y>X \sim\text{Expon}(\lambda)$ berapapun nilainya $X$ dan oleh karena itu $-Z|Y>X$ adalah $\text{Expon}(\lambda)$. Begitu juga jika Tori datang lebih dulu, dengan kemungkinan$\text{Prob}[X>Y]=0.5$, kemudian $Z|X>Y$ juga $\text{Expon}(\lambda)$. Menyatukan kedua kasing akan memberi Anda hasil simetris untuk$F_Z(z)$ yang diperoleh sebelumnya.
Saya meminta cdf tetapi jika itu untuk pdf .
Untuk $z\geq 0, 0\leq z\leq x <\infty$, $$\begin{align} f_Z(z) &= \int_z^\infty f_X(x)\cdot f_y(x-z)dx \\ & = \lambda^2 e^{\lambda z}\int_z^\infty e^{-2\lambda x}dx \\ &= \frac{\lambda}{2}e^{-\lambda z} \end{align}$$
Untuk $z<0, z< 0\leq x <\infty$, $$\begin{align} f_Z(z) &= \int_0^\infty f_X(x)\cdot f_y(x-z)dx \\ & = \lambda^2 e^{\lambda z}\int_0^\infty e^{-2\lambda x}dx \\ &= \frac{\lambda}{2}e^{\lambda z} \end{align}$$