Fungsi terdiferensiasi dua kali yang memenuhi persamaan diferensial

Question

Pertanyaannya adalah :

Membiarkan $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ menjadi fungsi yang dapat dibedakan dua kali memuaskan

$f(x)+f''(x)=-xg(x)f'(x), x\in \mathbb{R} $ dimana $g(x) \ge 0, \forall x\in \mathbb{R}$

Manakah dari berikut ini yang benar?

$(1)$ Jika $f(0)=f'(0)=1$ , kemudian $f(3)\lt 3$

$(2)$ Jika $f(0)=f'(0)=2$ , kemudian $f(4)\lt 4$

$(3)$ Jika $f(0)=f'(0)=3$ , kemudian $f(3)=5$

$(4)$ Jika $f(0)=f'(0)=3$ , kemudian $f(3)=6$

Pikiran saya:-

Saya akan membahas dulu tentang $(3)$ dan $(4)$

Membiarkan $g(x)=0$

Kemudian dengan beberapa perhitungan, kita bisa menampilkannya

$f(x)=3(\sin x+\cos x)$ sebagai kandidat yang cocok untuk dibuang $(3)$ dan $(4)$

Di sini, untuk opsi $(3)$

$f(3)=5$

$\Rightarrow \sin 3+\cos 3=\frac 53$

Saat mengkuadratkan kedua sisi

$1+\sin 6=\frac{25}9$

$\sin 6=\frac {16}9 \gt 1$, sebuah kontradiksi

Demikian pula $f(3)= 6$ akan memberikan kontradiksi

$\sin 3+\cos 3=2$ (menyiratkan $\sin 3=\cos 3=1$ yang tidak mungkin).

Jadi kita ditinggalkan $(1)$ dan $(2)$

Catatan: Sedikit variasi dari contoh di atas memenuhi kondisi di $(1)$ dan $(2)$

Saya mencoba dengan contoh sederhana seperti $g(x)=1 $ dan $f(x)=x$ atau seperti kuadrat tetapi tidak bisa mencapai kesimpulan.

Tolong bantu dengan opsi $(1)$ dan $(2)$. Terima kasih atas waktunya.

Answer 1

Pertimbangkan fungsi energi $E=f(x)^2+f'(x)^2$. Kemudian$$ \frac{d}{dx}E=2f'(x)(f''(x)+f(x))=-2xg(x)f'(x)^2 $$ maka $E$sedang mengalami solusi. Sejauh yang saya bisa lihat, ini menyiratkan bahwa 1) dan 2) adalah benar.

Dalam 1) $f(x)\le\sqrt{E(x)}\le\sqrt{E(0)}=\sqrt2<3$ dan serupa di 2) $f(x)\le\sqrt8<4$. Dengan cara yang sama Anda mendapatkan 3) dan 4)$f(x)\le\sqrt{18}<5$, sehingga nilai yang diberikan tidak akan pernah tercapai.